Programma dell'insegnamento di Dinamica delle Strutture

Introduzione

Obiettivi dell’analisi strutturale dinamica e differenze con l’analisi strutturale statica. Classificazione dei carichi: statici/dinamici, deterministici/probabilistici, di durata limitata/illimitata nel tempo, periodici/non periodici. Classificazione dei sistemi meccanici: lineari/non lineari, discreti/continui. Gradi di libertà dinamici.

Sistemi meccanici a un grado di libertà

Esempi di strutture modellabili come sistemi meccanici a un grado di libertà.

Scrittura dell’equazione del moto: Principio di d’Alembert e Teorema dei lavori virtuali. Principio di sovrapposizione degli effetti. Soluzione generale dell’equazione del moto: risposta transitoria e risposta a regime. Carichi dinamici equivalenti alle eccitazioni provenienti dal moto del supporto. Carichi statici.

Oscillazioni libere in assenza di smorzamento. Oscillazioni libere in presenza di smorzamento: casi di smorzamento critico, sub-critico e super-critico; determinazione sperimentale del rapporto di smorzamento. Considerazioni energetiche.

Carichi armonici. Carichi periodici di tipo generale: soluzione tramite la serie di Fourier.

Carichi di durata limitata nel tempo: risposta nelle fasi I (applicazione del carico) e II (oscillazioni libere). Carichi impulsivi: risposta approssimata.

Carichi di tipo generale: soluzione tramite l’integrale di Duhamel; implementazione numerica dell’integrale di Duhamel.

Metodi numerici di soluzione passo-passo: metodi della forza lineare, delle differenze finite centrali, dell’accelerazione costante, dell’accelerazione lineare e di Newmark.

Sistemi meccanici a più gradi di libertà

Esempi di strutture modellabili come sistemi meccanici a più gradi di libertà.

Telai multipiano con deformata di tipo “a taglio”: scrittura delle equazioni di equilibrio dinamico mediante la definizione di un sistema meccanico equivalente costituito da masse concentrate collegate da molle e smorzatori.

Equazioni di equilibrio dinamico in notazione matriciale. Matrice di massa, di smorzamento, di rigidezza e di flessibilità: definizione, proprietà e significato fisico. Cambio di coordinate.

Scrittura delle equazioni di equilibrio dinamico per via diretta e mediante il Teorema dei lavori virtuali. Derivazione delle matrici di rigidezza e di massa dalle forme quadratiche, rispettivamente, dell’energia potenziale e dell’energia cinetica. Vettore dei carichi coniugato, rispetto al lavoro virtuale, al vettore degli spostamenti. Richiami sulle equazioni di Lagrange per i sistemi dinamici.

 

Oscillazioni libere di un sistema a più gradi di libertà: problema di autovalori generalizzato, modi propri di vibrare, forme modali. Determinazione delle costanti di integrazione in funzione delle condizioni iniziali.

Ortogonalità delle forme modali rispetto alle matrici di massa e di rigidezza. Disaccoppiamento delle equazioni del moto: coordinate normali, metodo della sovrapposizione modale. Ipotesi di Rayleigh sulla matrice di smorzamento. Determinazione della matrice di smorzamento in funzione dei rapporti di smorzamento modali.

Sistemi meccanici a infiniti gradi di libertà (continui)

Esempi di strutture modellabili come sistemi meccanici a infiniti gradi di libertà (continui). Analogie e differenze con i sistemi discreti.

Fili tesi. Equazione del moto per il filo inestensibile. Oscillazioni libere: pulsazioni proprie e forme modali, ortogonalità delle forme modali rispetto alla massa distribuita, determinazione delle costanti di integrazione in funzione delle condizioni iniziali.

Travi inflesse. Equazione del moto per la trave tenso/presso-inflessa. Oscillazioni libere: pulsazioni proprie e forme modali, ortogonalità delle forme modali rispetto alla massa distribuita ed alla rigidezza flessionale, determinazione delle costanti di integrazione in funzione delle condizioni iniziali. Carico dinamico distribuito: determinazione della risposta dinamica col metodo della sovrapposizione modale. Effetti del carico assiale.

Discretizzazione di sistemi meccanici continui. Analisi strutturale dinamica col metodo degli elementi finiti: aspetti generali, funzioni di forma, sistemi di riferimento globale e locale, matrice di rigidezza dell’elemento, matrice di trasferimento. Travature reticolari: matrice di rigidezza per l’elemento asta reticolare piana, definizione dei carichi e delle masse nodali equivalenti ai carichi e alle masse distribuiti (equivalenza statica ed equivalenza energetica). Travature inflesse: gradi di libertà rotazionali, matrice di rigidezza per l’elemento trave inflessa piana, metodo di condensazione statica.