Attività settimanale
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Forum
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Raccolta di testi di esame degli ultimi tre anni.
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Vi si possono trovare gli argomenti effettivamente svolti, lezione per lezione.
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Una breve dispensa per ripassare i principali prerequisiti
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ORARIO DELLE LEZIONI
mercoledi 8.30-11.30 aula C01
sabato 10.30-12.30 F6
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RICEVIMENTI PRE-ESAME
Il dottor Paoli e' disponibile per il ricevimento pre-esame:
in aula E1, primo piano polo Fibonacci (Marzotto)
dalle 10 alle 13
il mercoledi 9 gennaio e
il mercoledi 30 gennaio.
Per altri ricevimenti contattare Acquistapace e Tortorelli. VMT -
ORARI RICEVIMENTO
1) VMT riceve su appuntamento (con preavviso di almeno due o tre giorni) singoli o gruppi, con orario e luogo da concordare di volta in volta secondo le esigenze. Anche a tal proposito l'indirizzo di posta elettronica di VMT e'
tortorel@dm.unipi.it
2) La professoressa Francesca Acquistapace riceve su appuntamento (con preavviso di almeno due o tre giorni) il lunedi dalle 14 a alle 17, con luogo da concordare secondo le esigenze.
3) Il dottor Roberto Paoli terra' ricevimenti presso i poli di Ingegneria formalmente fra il 9 novembre 2018 e il 18 dicembre 2018ogni venerdì dalle 15:30 alle 17:30, aula A13in realta' ha gia' iniziato il 19 ottobre ma sara' assente il 2 novembre.
VMT -
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Per ricevere gli avvisi alla classe da parte di VMT bisogna iscriversi al corso accedendo al portale con le credenziali di ateneo (quelle in uso sul portale alice).
Si prega una volta iscritti di controllare che l'indirizzo di posta elettronica sia
corretto in quanto gli avvisi arriveranno li.VMT
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A collection of exercises in English, made by A.Berarducci and O.Papini.
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Risorsa
Raccolta di diciannove domande di introduzione e tre esercizi formato esame. Gli argomenti sono quelli che si svolgeranno nelle prime due settimane di corso: geometria analitica lineare nel piano e nello spazio, rette e piani in forma cartesiana e in forma parametrica e loro posizioni reciproche, prodotto scalare, collegamento con i sistemi lineari.
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Esercizi dal primo foglio di esercizi.
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Risorsa
Esercizi su: proiezioni ortogonali, prodotto scalare e rudimenti di geometria analitica lineare in spazi cartesiani di dimensione qualsiasi, metodo di riduzione a scala di matrici e suo uso per determinare i tipi di risolubilita' di sistemi lineari e quindi per risponderer a domande di tipo geometrico.
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Riassunto e anticipazioni di teoria: esercizi per trovare le equazioni di un ortogonale in dimensione maggiore di tre, concetto di dimensione e di indipendenza lineare, uso del metodo di riduzione a scala.
Esercizi dal secondo foglio di esercizi: discussione e correzione della domanda 1 del secondo foglio di esercizi, risoluzione domande 2, 3, 4, 5.
Tema di riflessione:
le soluzioni date dal metodo di riduzione a scala (n incognite n-k equazioni termini noti nulli) ) sono scritte come somma di multpli di n-ple i cui coefficienti sono le variabili non di pivot: queste n-ple sono sempre indipendenti? Perche'?'
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Risorsa
Primi esercizi sugli spazi vettoriali, sui sottospazi generati, sull'indipendenza lineare e sulle somme dirette di sottospazi.
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Rivisitazione e generalizzazione della domanda 1 del secondo foglio:
\( A,\, B \text{ sottospazi vettoriali di } V \),
\( v\not \in A+B,\, \text{ se e solo se } \)
\( (A+v)\cap B=\emptyset \).
Indipendenza lineare dei vettori di R\( ^n \) trovati mediante riduzione a scala di una matrice.
Esercizio 1.1 e 1.2 del secondo foglio.
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Domande 1, 2, 3, 6 del terzo foglio.
Disposizione con ripetizione, potenze e numero di elementi dell'insieme delle funzioni tra due insiemi finiti. Matrici come funzioni dalle coppie di numeri naturali al campo. Matrice trasposta. Numeri triangolari.
Notazioni per la colonna j-sima di una matrice \( M: ~M^j \);
per la riga i-esima di una matrice \( M: ~M_i \);
per la componente di riga i-esima e colonna j-esima:\( ~M_i^j\) o anche \( ~M_{ij} \);
per la sottomatrice di \( M\) ottenuta scegliendo le righe di posto \(i_1, \dots i_h\) e le colonne di posto \( j_1, \dots j_k\):
\( ~ M_{i_1, \dots i_h}^{j_1, \dots j_h}\)
\({\bf R}^{n^2}\sim {\cal M}(n, n, {\bf R})\) ordinamento lessicografico per righe.
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Richiamo sulla nozione di spazio vettoriale astratto: spazi vettoriali di matrci e di funzioni a valori in uno spazio vettoriale.
domanda 7a sottospazi dello spazio dei polinomi a coefficienti complessi definiti da valutazioni, le valutazioni come funzionali lineari a valori nel campo, intersezione finita di nuclei. Controesempi 7b, c.
Domanda 8 un sottospazio dello spazio dei polinomi complessi di tipo diverso con supplementare anch'esso di dimensione infinita.
Domanda 9a: indipendenza di due funzioni esponenziali complesse exp(at) e exp (bt) con a diverso da b: dipendenza lineare di due funzoni con dominio infinito come sistema numerico lineare omogeneo a due incognite ed infinite equazioni. Metodo con due valutazioni. metodo con valutazione in t=0 dela funzione e della sua derivata. 9b: caso di tre funzioni esponenziali a coefficienti dell'esponenti diversi, con eliminazione. Cenno al caso di n funzioni esponenziali con coefficienti diversi: matrice delle potenze successive.
Domanda 10 a: base di funzioni reali dello spazio generato dalle funzioni complesse exp((1+i)t), exp((1-i)t). 10b indipendenza lineare sul campo complesso della coppia di funzioni reali di variabile reale del tipo exp(rt)cos(ct), exp(rt)sin(ct), c non 0.
COMPITO A CASA: 1 ) per ultimare l'esercizio 8: dati n numeri complessi diversi \( a_1, ..., a_n \) trovare un addendo diretto nello spazio dei polinomi complessi di una variabili del nucleo della funzione lineare \( F(p)=(p(a_1), ..., p(a_n)) \).
2) Piu' impegantivo: ultimare l'esercizio 9b.
3) Fare l'esercizio 9c (cfr. corso di analisi).
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Risorsa
Principalmente esercizi sulle funzioni lineari, sulle matrici ad esse associate, e al prodotto di matrici.
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Esercizi lasciati compito a casa: terzo foglio di esercizi: domanda 8 (supplementare dei polinomi divisibili per preassegnati e distinti fattori monici di primo grado); domanda 9b 9c (condizioni per l'indipendenza lineare di funzioni); domanda 16 quarto foglio di esercizi (le funzioni lineari da uno spazio vettoriale di dimensione finita in se, non invertibili sono divisori destri e sinistri dell'applicazione nulla).
Quarto foglio di esercizi: domande 1, 2, 3 (matrici per rotazioni attorno all'origine e delle simemtrie per rette passanti per l'origine nel piano cartesiano, matrici delle funzioni lineari che conservano gli angoli tra vettori); domanda 6 (matrici rango 1, base dello spazio vettoriale delle matrici); domanda 17 (algebra delle matrici quadrate e matrici con potenze nulle, prodotti notevoli per matrici, esempi di matrici che non commutano).
Quarto foglio di esercizi: svolgimento esercizio 2 prima parte \( \langle Mx\cdot y\rangle_{{\bf R}^n}= \langle x\cdot \, ^tMy\rangle_{{\bf R}^m},~M \, n\times m \)
VMT
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Oltre ad alcuni tra gli esercizi del IV foglio (risoluzione domande 8, 12, 13, impostazione d.14, 18a, esercizio 3),
si e' dimostrata la formula per il determinate di matrici con blocchi diagonali quadrati e primo blocco inferiore nullo\( det\left(\begin{array}{cc} A & B\\ O &C\end{array}\right)= detA \, det C \)
e si e' enunciata la formula del determinante di Vandermonde.
COMPITO A CASA : impostare la risposta alla domanda 18a, b; impostare la soluzione all'esercizio 2b-
Risorsa
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Esercizi dal quarto foglio (domanda 18, esercizi 2 e 3), e dal quinto foglio (domande 3 e 5).
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Brevi dispense della professoressa Francesca Acquistapace per presentare il teorema spettrale di diagonalizzazione di matrici simmetriche mediante matrici ortogonali.
VMT
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Risorsa
Tre sercizi sui determinati di collegamento con il corso di analisi matematica.
Un esercizio sulla diagonalizzazione di endomorfismi lineari articolato.
Per altri esercizi su triangolabilita', diagonalizzazione e criteri correlati, polinomi minimi, e sugli argomenti futuri (teorema spettrale e matrici simmetriche) ci si riferira' ai testi di esame, reperibili sul sito della professoressa F. Acquistapace (collegamento ad inizio di questa pagina).
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Ripasso: identificazione di uno spazio vettoriale di dimensione finita con uno spazio cartesiano: vuol dire fissare una base; matrice associata ad un'applicazione lineare; diagonalizzabilita' di applicazioni lineari: base di autovettori; diagonalizzabilita' di matrici: simile ad una diagonale; criteri di diagonalizzabilita'; endomorfismo lineare triangolarizzabile: basi progressive invarianti versus matrici triangolarizzabili; criteri di triangolarizzbilita'. ESERCIZI: un polinomio se si annulla su una matrice si annulla su tutte quelle a lei simili. Se f e' diagonalizzabile allora il polinomio minimo ha radici semplici. Esame del 24/7/2018 esercizio 1. Esame del 19/9/2016 esercizi 2 e 3. ESERCIZIO LASCIATO un autospazio e' sempre con intersezione nulla con il sottospazio generato dai rimanenti.
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