Weekly outline
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AVVISO CAMBIAMENTO DATA ORALI
L'orale del 6 luglio e' stato spostato il 7 luglio alle ore 10 causa concomitanza altri esami.
VMT
Si ricorda che gli ammessi all'orale mediante scritto in questo AA, possono sostenere l'orale in un qualsiasi appello di questo AA.
F.Acquistapace
CALENDARIO ESAMI SESSIONE INVERNALE
3 appello orali: dopo il 22 febbraio continueranno mercoledi 24 febbraio dalle ore 10 nell'aula virtuale di Algebra lineare (se l'audio comincera' a dare problemi ci si spostera' in un altra aula virtuale).1 appello: scritto 12 gennaio 2021 ore 9, inizio orali 18 gennaio 2021 ore 9:
https://meet.google.com/lookup/gwha6arg6t
e' l'usuale link dinamico per le lezioni in google.
2 appello: scritto 28 gennaio 2021 ore 9, inizio orali 1 febbraio 2021 ore 9.
3 appello: scritto 18 febbraio 2021 ore 9, inizio orali 22 febbraio 2021 ore 9.
MODALITA' ESAMI
I testi delle prove scritte verranno sia inviati tramite posta elettronica del sito https://esami.unipi.it/, come allegati PDF agli avvisi, sia pubblicati su questo sito elearnning , subito dopo l'introduzione.
- I vostri elaborati dovranno essere riconsegnati mediante posta elettronica alla professoressa Acquistapace entro quattro ore dall'inizio della prova stessa (di norma alle 9 del mattino quindi il termine di consegna sarebbe nel caso fissato alle ore 13), con un'unico invio, all'indirizzo:
francesca.acquistapace@unipi.it
e' inoltre necessario che nell'elaborato vi siano i vostri dati:
nome, cognome e numero di matricola.
- La valutazione dello scritto sara' semplicemente ammesso o non ammesso (alla prova orale).
Gli orali si terranno nell'aula virtuale ove di solito si fanno le lezioni e ci si collega dinamicamente con
https://meet.google.com/lookup/gwha6arg6t
F.Acquistapace e V.M.Tortorelli
INTRODUZIONE
La titolare dell'insegnamento e' la professoressa Francesca Acquistapace, con cui il responsabile di questa pagina, Vincenzo Maria Tortorelli (VMT), collabora.
Un'altra collaboratrice sara' la professoressa Giulia Fidanza che curera' ricevimenti di tutorato ed ulteriori esercitazioni.
Nel presente sito si troveranno nell'ordine:
testi deglle prove scritte
collegamento alla pagina della professoressa,
collegamento al registro delle lezioni,
programma preliminare
orario delle lezioni, link all'aula virtuale,
orario dei ricevimenti ed eventuale tutorato con indirizzi di posta elettronica,
indicazioni per ricevere avvisi iscrivendosi alla mailing list del sito,
note per il ripasso di prerequisiti,
raccolte di esercizi e in progressione settimanale materiale per gli esercizi.
VMT
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Raccolta di testi di esame degli ultimi anni.
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Vi si possono trovare gli argomenti effettivamente svolti, lezione per lezione.
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Programma preliminare nel portale esami: https://esami.unipi.it/programma.php?c=46036&aa=2020&docente=ACQUISTAPACE&insegnamento=&sd=0
Il programma di esame effettivo risultera' dagli argomenti svolti a lezione, reperibili nel registro ufficiale delle lezioni, accessibile mediante il collegamento precedente.
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ORARIO DELLE LEZIONI
mercoledi 8,30-10,30 e 10,45-11.45
giovedi 8,30-10,30
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Collegamento da effettuare, dopo il primo accesso (iscrizione) tramite il portale degli esami, per accedere al collegamento ``dinamico'' all'aula virtuale.
VMT
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ORARI RICEVIMENTO
1) VMT riceve su appuntamento (con preavviso di almeno due o tre giorni) singoli o gruppi, con orario e luogo da concordare di volta in volta secondo le esigenze. Anche a tal proposito l'indirizzo di posta elettronica di VMT e'
tortorel@dm.unipi.it
2) La professoressa Francesca Acquistapace riceve su appuntamento (con preavviso di almeno due o tre giorni) e in un giorno da concordare.
VMTacquistf@dm.unipi.it
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ORARIO DI TUTORATO
Da definire tra gli studenti e la professoressa Giulia Fidanza
a046535@gsuite.unipi.it
(modificato il 7 ottobre 2020)
VMT
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ISCRIVERSI AL SITO DEL CORSO
Per ricevere gli avvisi alla classe da parte di VMT bisogna iscriversi al corso accedendo al portale con le credenziali di ateneo (quelle in uso sul portale alice).
Si prega una volta iscritti di controllare che l'indirizzo di posta elettronica sia
corretto in quanto gli avvisi arriveranno li.VMT
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A collection of exercises in English, made by A.Berarducci and O.Papini.
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Esercizi di base per allenamento con risoluzioni.
Nota: si ringrazia la professoressa Carrara, contattata senza succeso all'indirizzo e-mail dell'Universita' di Trento, per aver messo a disposizone il materiale in oggetto.
VMT
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TESTI DI RIFERIMENTO
Oltre agli appunti delle lezioni edelle esercitazioni:
Marco Abate Algebra lineare Mc Grow
(non sara` seguito tutto e sara` integrato da pagine di dispense).
Per la prima parte di geometria analitica si puo` fare riferimento al testo delle lezioni ed eventualmente al libro di
Silvana Abeasis Elementi di algebra lineare e geometria Zanichelli.
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LEGENDA
nel seguito per comodita' si sono ricopiate, e rese visibili settimana per settimana, le raccolte di esercizi fatte da VMT negli scorsi anni.
Di volta in volta, sempre di settimana in settimana, verranno aggiunti: copie dei testi scritti delle lezioni, audiovideo registrazioni delle esercitazioni, ed eventuali altri nuovi esercizi.
VMT
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Annotazioni, in file pdf, per le soluzioni alle prime sette domande del primo foglio di esercizi.
VMT
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Raccolta di diciannove domande di introduzione e tre esercizi formato esame (forse piu' impegnativi di quelli degli esami). Gli argomenti sono quelli che si svolgeranno nelle prime due settimane di corso: geometria analitica lineare nel piano e nello spazio, rette e piani in forma cartesiana e in forma parametrica e loro posizioni reciproche, prodotto scalare, collegamento con i sistemi lineari.
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Altro esercizio formato esame in tema con i tre del primo foglio.
VMT
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Esercizi dal primo foglio di esercizi.
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Le prime pagine sono una riscrittura ordinata delle osservazioni generali fatte la scorsa esercitazione su: immagini e preimmagini di funzioni, rispettivamente forma parametrica ed equazioni di rette e piani, lunghezza di un vettore e distanza tra punti, equazionie di primo grado di un piano come condizione di ortogonalita'. In particolare si nota che
risolvere un sistema vuol dire mettere in forma parametrica l'insieme delle sue soluzioni
cioe' vederlo come immagine di una funzione.
Questi appunti verranno completati nella settimana dal 7 al 10 ottobre, con i commenti che faremo risolvendo altri esercizi del primo foglio.
VMT
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Per la lezione 3, del 12 ottobre, si veda sopra. VMT
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Esercizi su sistemi lineari e geometria negli spazi cartesiani, metodo di Gauss.
Soluzioni particolari di sistemi lineari (con termine noto). Prodotto righe per colonne come combinazione lineare delle colonne della matrice assoociata ad un sistema lineare con coefficienti le variabili incognite. Linearita' della trasformazione associata alla matrice.
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Esercizi su: proiezioni ortogonali, prodotto scalare e rudimenti di geometria analitica lineare in spazi cartesiani di dimensione qualsiasi, metodo di riduzione a scala di matrici e suo uso per determinare i tipi di risolubilita' di sistemi lineari e quindi per risponderer a domande di tipo geometrico.
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Rivisitazione e generalizzazione della domanda 1 del secondo foglio:
\( A,\, B \text{ sottospazi vettoriali di } V \),
\( v\not \in A+B,\, \text{ se e solo se } \)
\( (A+v)\cap B=\emptyset \).
Indipendenza lineare dei vettori di R\( ^n \) trovati mediante riduzione a scala di una matrice.
Esercizio 1.1 e 1.2 del secondo foglio.
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Nelle note si sono anticipate, rispetto all'esposizione, le proprieta', con dimostrazione, della trasposta della somma e della doppia trasposizione.
Esercizi sugli spazi vettoriali, basi e dimensione: struttura vettoriale sullo spazio delle funzioni reali di variabile reale, sulle matrici, funzioni pari e dispari, matrici simemtriche e antisimmetriche.
SI sono ripassate: notazioni sulle matrici ed operazioni di spazio vettoriale sulle matrcici.
Si sono introdotte: nozione di matrice trasposta e prime proprieta', nozione di somma diretta di due sottospazi ed unicita' della decomposizione.
VMT
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Notazioni per la colonna j-sima di una matrice \( M: ~M^j \);
per la riga i-esima di una matrice \( M: ~M_i \);
per la componente di riga i-esima e colonna j-esima:\( ~M_i^j\) o anche \( ~m_{ij} \);
per la sottomatrice di \( M\) ottenuta scegliendo le righe di posto \(i_1, \dots i_h\) e le colonne di posto \( j_1, \dots j_k\):
\( ~ M_{i_1, \dots i_h}^{j_1, \dots j_h}\)
\({\bf R}^{n^2}\sim {\cal M}(n, n, {\bf R})\) ordinamento lessicografico per righe.
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La videoregistrazione e' completa senza l'interruzione.
VMT
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Domande 4, 5, 7, 8 ed esercizio 3 del terzo foglio di esercizi. VMT
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Purtroppo la registrazione della parte dell'esercitazione prima che il programma di scrittura si spegnesse non e' visibile. Manca quindi la videoregistrazione della risoluzione della domanda 4 che e' comunque scritta nelle note.
Quindi vi e' solo la videoregistrazione della ripresa dell'esercitazione dopo l'incidente.
VMT
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Primi esercizi sugli spazi vettoriali anche non cartesiani, sui sottospazi generati, sull'indipendenza lineare, sulle basi e sulle somme dirette di sottospazi.
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Principalmente esercizi sulle funzioni lineari, sulle matrici ad esse associate, e al prodotto di matrici.
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Dimostrazione del fatto che due sottospazi, supplementari di uno stesso sottospazio, hanno la stessa dimensione. Domande del quarto foglio: 1 con calcolo dell'inversa, 4, 6.
Esercizio per casa: calcolare l'nversa e dare un'interpretazione geometrica delle matrici 3x3
con righe rispettivamente:
(a, -b, 0) ( b,a,0) (0,0,1) e (1,0,0) (0,a,b) (0,b,-a)
VMT
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Tali esercizi, preparati dai tre docenti, servono a rendervi conto:
1) di quello che noi ci aspettiamo che voi abbiate capito a questo punto del corso.
2) quello che ciascuno di voi ha capito.
NOTA1: Il tempo di svolgimento orientitativamente dovrebbe essere di tre ore per tre esercizi.
NOTA2: conviene quindi svolgere questi esercizi in due sessioni: selezionando tre o quattro esercizi alla volta.
NOTA3: e' consigliato per ogni sessione scegliere almeno un esercizio tra 1, 2, 3 e 5 e un esercizio tra 4, 6 e 7 (questi ultmi piu' teorici).
Se volete che il vostro svolgimento sia corretto, scannerizzatelo e mandatelo a Francesca come file pdf all'indirizzo: francesca.acquistapace@unipi.it
Lei lo correggera' e vi spedira` indietro la correzione.
Dopo una settimana metteremo in rete la soluzione.
VMT
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Esercizi su: trasformazioni lineari e matrci assossociate in date basi, trasposizione e prodotto scalare.
Esercizi per casa: come sono le matrici mxn di rango 1? 2)
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Esercizi dal quarto foglio su funzioni lineari.
Le funzioni lineari di rango non massimo sono divisori di zero bilateri. Similitudine e mosse di Gauss. Matrci nilpotenti e loro autovalori.
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Dalla domanda 14, compresa, in poi. VMT
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Esercizi su funzioni lineari, matrici, proiezioni e cambiamenti di base: sia svolti a lezione ed esercitazione, ma che non compaiono nel quarto foglio, sia alcuni nuovi.
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Formula per il determinate di matrici con blocchi diagonali quadrati. Il polinomio che da origine al determinante di Vandermonde.
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Esercizi su:
1) applicazioni lineari e matrici associate (domande 16b, 17bis, 20 del quarto foglio di esercizi),
2) algebra delle matrici (domanda 18 quarto foglio, domanda 8 quarto foglio bis),
3) somme dirette, proiezioni e proiezioni ortogonali (domanda 9 quarto foglio bis, domanda 19 quarto foglio: cfr. esercizio 2 quarto foglio e domanda 5 del quarto foglio bis, svolti il 18 novembre),
4) determinante e sviluppo di Laplace (domanda 2ac del quinto foglio: determinante di matrici ``triangolari superiori a blocchi'').
Esercizio lasciato per casa: provare ad affrontare la domanda 4 del quinto foglio (determinante di Vandermonde)
VMT
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Domanda 20 quarto foglio, domanda 8 quarto foglio bis, domanda 2ac quinto foglio. VMT
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Approccio teorico diverso da quelli nei libri consigliati e delle lezioni.
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Similitudine e diagonalizzazione: lezione persa il 3 dicembre per difetto audio, e ripetuta il 9 dicembre. VMT
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Un esercizio per completare il quadro relativo alla regola di Cramer e alle propriet\`a della matrice aggiunta (cfr. domanda 3 del quinto foglio di esercizi). VMT
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INDICAZIONE DI ALTRI ESERCIZI :sesto foglio esercizi: 4 (molto impegnativo), 5 (impegnativo)
eserciziario Berarducci-Papini esercizi: 5.2, 5.7, 5.10, 5.13, 5.18, 5.20, 5.21, 5.22;
eserciziario Carrara esercizi: 9.2, 9.3ab, 9.7, 9.8, 9.11, 9.13, 9.20, 9.21, 9.25, 9.31, 9.32.VMT -
Similitudine e diagonalizzazione: lezione persa il 3 dicembre per difetto audio, e ripetuta il 9 dicembre. VMT
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CAMBIO AULA: per aver la videoregistrazione proviamo a trasferirci in quest'altra aula meet:
https://meet.google.com/mdj-aitx-tbj
VMT
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Esercizi su:
1) similitudine e matrici associate ad endomorfismi lineari: caratterizzazione delle matrici quadrate che commutano, per il prodotto tra matrici, con tutte le altre matrici quadrate. (domanda 7 quarto foglio bis e domanda 5 quinto foglio).
2) Invertibilita' di trasposta(A) A, se A ha rango massimo e ha piu' righe che colonne. Pseudo inversa di Moore-Penrose per matrici di rango massimo con meno colonne che righe.
Nel caso: matrice della proiezione ortogonale sul sottospazio generato dalle colonne di A. (domanda 6 quarto foglio bis).
3) Regola di Cramer. Matrice aggiunta e sue proprieta'. Formula per i coefficienti dell'inversa di una matrice con determinante non nullo. (domanda 3 quinto foglio e domanda 1 quinto foglio bis).
Esercizio lasciato per casa: provare ad affrontare la domanda 4 del quinto foglio (determinante di Vandermonde)
VMT
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Tali esercizi, preparati dai tre docenti, servono a rendervi conto:
1) di quello che noi ci aspettiamo che voi abbiate capito a questo punto del corso.
2) quello che ciascuno di voi ha capito.
NOTA1: Il tempo di svolgimento orientitativamente dovrebbe essere di tre ore per tre esercizi.
NOTA2: conviene quindi svolgere questi esercizi in quattro o cinque sessioni: selezionando quattro o tre esercizi alla volta.
Si raccomanda:
per ogni sessione di scegliere un paio di esercizi tra i primi otto (richiaami su cambiamenti di basi, ortogonalita' e determinante) e un paio tra gli ultimi otto (principalmente sui criteri di diagonalizzabilita' di matrici e di endomorfismi) .
Nota 3: a nostro parerere gli esercizi di difficolta' superiore a quella necessaria per una buona valutazioni sono 8c e 16 e sono ``impallinati''.
Esercizi invece abbastanza immediati sono: 1a, 3, 7a, 8a, 11ab, 14, 15.
Esercizi diretti ma che richiedono un minimo di calcolo o teoria: 2, 7b, 8, 11c.
6,Se volete che il vostro svolgimento sia corretto, scannerizzatelo e mandatelo a Francesca come file pdf all'indirizzo: francesca.acquistapace@unipi.it
Lei lo correggera' e vi spedira` indietro la correzione.
Dopo una settimana metteremo in rete la soluzione.
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Brevi dispense della professoressa Francesca Acquistapace per presentare il teorema spettrale di diagonalizzazione di matrici simmetriche mediante matrici ortogonali.
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Due altri esercizi su diagonalizzabilita' e triangolarizzabilita', e due esercizi su endomorfismi ortogonali e simmetrici.
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Teorema spettrale. Diagonalizzabilita' delle matrici ortogonali. Radici del polinomio minimo. Similitudine reale e complesssa.
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INDICAZIONE DI ALTRI ESERCIZI :esame del 24/7/2018 esercizio 1, esame del 19/9/2016 esercizi 2 e 3.
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Esercizi su:
1) determinante di Vandermonde (domanda 4 V foglio), significato geometrico del determinante di matrici 2x2 (domanda 8 V foglio).
2) diagonalizzabilita' di matrici che annullano un polinomio fattorizzabile (domanda 5 V foglio)
3) derivata di una matrice di funzioni, derivata del prodotto di matrici, dell'inversa di una matrice di funzioni e controesempio delle matrici di riflessione rispetto ad una retta che ruota attorno all'origine nel piano (esercizio 2 VI foglio).
4) determinante visto come prodotto: derivata del determinante di M= somma dei determinanti delle matrici ottenute sostituendo una colonna con la sua derivata= tr(M' adjM) (esercizio 1 b VI foglio). Sviluppo del determinante al primo ordine (esercizio 1c VI foglio).
Compito per casa:
1) trovare una M, matrice 2x2 di funzioni, per cui (MM)' sia diverso da 2MM' e d a 2M'M (cfr. esercizio 2a VI foglio)
2) Esercizio 3 Vi foglio: M(t) matrice di rotazione attorno ad un asse fisso, commutativita' di M' con traspM, relazione con il vettore di velocita' angolare.
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SECONDO COMPITO DI AUTOVALUTAZIONE DEL 7/12/20: NUOVA VERSIONE E SOLUZIONI
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Nuova versione del 4 gennaio: l'esercizio 3 e' stato sdoppiato, gli esercizi successivi hanno numerazione aumentata di uno rispetto alla prima versione. In particolare l'esercizio 8 diventa 9.
Si e' modificta anche la versione originale ove la formulazione della domanda 8b, se pur corretta, poteva indurre in errore: SECONDO COMPITO DI AUTOVALUTAZIONE 7/12/20 prima versione corretta.
VMT
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Sono presenti le soluzioni di quasi tutti gli esercizi proposti. Tra le mancanti quelle dell'esercizio 8/9 sara' nei files qui di seguito.
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Soluzione proposta come suggerimento nella prima versione del compito.
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