Indice degli argomenti
- SITO DELL'INSEGNAMENTO ANALISI MATEMATICA II, A.A. 2016-2017, 6 crediti (432AA), CdS IEA-LM5 INGEGNERIA EDILE-ARCHITETTURA
SITO DELL'INSEGNAMENTO ANALISI MATEMATICA II, A.A. 2016-2017, 6 crediti (432AA), CdS IEA-LM5 INGEGNERIA EDILE-ARCHITETTURA
SONO A DISPOSIZIONE I TESTI
dei quesiti della prova scritta di ieri, 15 Novembre 2017, dell'appello straordinario invernale, nella sezione ``testi e soluzioni''.
VMTPrerequisiti, programma di massima, TESTI CONSIGLIATI.
Argomenti presentati a lezione. Per i prerequisiti si veda la scheda del corso.
Testi e soluzioni delle prove scritte d'esame: A.A. 2016-2017
- APPELLO AUTUNNALE: ORARI PROVE SCRITTE
Venerdi 15 settembre, 10,30-13,30, aula ETRF2.
NOTE: - sono aperte le iscrizioni all'appello di venerdi 15 settembre;
- il calendario degli orali di questi appelli sara' stabilito dopo le prove scritte;
- chi ha la possibilita' di scegliere tra diversi programmi e' pregato di preavvertire almeno una decina di giorni prima.
22 FEBBRAIO 2017: FINISCE LA RIPETIZIONE.
MODIFICA (16 Gennaio 2017)
CALENDARIO E AULE PER LA RIPETIZIONE: dal 9 gennaio 2017 al 24 febbraio 2017 ogni settimana in aula M1 al polo didattico ex-Marzotto (Via Buonarroti)
lunedi 10-12 e 13-15 --- martedi 10-12 e 13-15 --- mercoledi 10-12 e 13-15
tutti i tre giorni ogni settimana dalle 15 alle 17 sono disponibile per ricevimento
TRANNE mercoledi 11 gennaio e mercoledi 8 febbraio in aula L sempre al polo didattico ex-Marzotto.
VMT
PS: le lezioni si devono tenere alla ex Marzotto in quanto le aule dei poli di Ingegneria non possono esser prenotate serialmente e non era garantita la disponibilita' settimanale.
Per riferimento ai principali testi consigliati si useranno le seguenti sigle:
[B] per V.Barutello et al. Analisi mat. vol. 2;
[F] per N.Fusco et al. An.Mat. due;
[FS] per N.Fusco et al. Elem. di An. Mat. due, versione semplificata.
- Registro delle lezioni 2016-2017
Registro delle lezioni 2016-2017
- RICEVIMENTO STUDENTI
RICEVIMENTO STUDENTI
Vincenzo Maria Tortorelli nel primo semestre: su appuntamento e di norma, il lunedi dopo la lezione dalle 18,30. Altro appuntamento fisso da determinare in base alle preferenze degli studenti fuori sede.
- Fogli di Esercizi
Fogli di Esercizi
Studi elementari di funzioni vettoriali di piu' variabil (cfr. Fogli di teoria 1 e 2).
Curve parametriche (cammini), 1-varieta', lunghezza, integrazione su cammini orientata e non orientata.
- CAMMINI: DESCRIZIONE SOSTEGNO, AUTOINTERSEZIONI, COMPORTAMENTI ASINTOTICI, COMPORTAMENTI CON DERIVATA NULLA.
Esempio 1 (lezione del 5 Ottobre): (cos t, sin 2t): estremi, autointersezioni, cambio del segno delle derivate delle funzioni componenti, riduzione a grafici, simmetrie.
Esempio 2 (lezione del 5 Ottobre): (t3 cos 1/t , t3 sin 1/t , t3), \( 0< t \leq \pi \); (0 , 0, 0), t=0: proiezione nel piano coordinato, velocita' continua, velocita' nulla.
Esempio 3 (lezione del 5 Ottobre): -2t(1,2), \( t\leq 0 \), -(sin 2 artan t , sin 4 artan t), \( t \geq 0 \):
cammino semplice con ``cappio''. - RIPARAMETRIZZAZIONI, GIUSTAPPOSIZIONE DI CAMMINI, VELOCITA' UNITARIA.
Esempio 1 (lezione del 10 Ottobre): trovare una parametrizzazione q(t) semplice del quadrato di vertici (0,0), (1,0), (1,1), (0,1): primo lato t(1,0), \( 0\le t \le 1 \), secondo lato (1,0)+(t-1)(0,1), \( 1\le t\le 2 \), terzo lato (1,1) -(t-2)(1,0), \( 2\le t\le 3 \), quarto lato (0,1)-(t-4)(0,1), \( 3\le t\le 4 \) . Se nei vertici si sceglie una delle due velocita', si ottiene una funzione vettoriale discontinua negli istanti di passaggio per i vertici.
Esempio 2 (lezione del 10 Ottobre): trovare una parametrizzazione C1 del quadrato di vertici (0,0), (1,0), (1,1), (0,1): si cerca Q(s)= q( t(s)) \( 0\le s \le 4 \), t(s) crescente con immagine [0;4]. Negli istanti S di passaggio per i vertici V essendoci angoli dovra' essere Q'(S)=(0,0). Scegliendo la derivata sinistra di q si ha Q'(S)=q'-(t(S)) t'(S). Ma qualsiasi scelta di q' e' sempre non nullla, quindi sul primo lato si deve avere t'(0)=t'(1)=0.
Quindi si puo' scegliere per esempio t(s)= \( \frac{1-\cos \pi s}2 \), \( 0\le s \le 1 \). Sugli altri lati si procede in modo analogo.
Esempio 3 (lezione del 10 Ottobre): confrontare velocita' agli istanti iniziali e finali, e il modo di percorrere il sostegno, dei cammini \( (\cos (2\pi e^t ), \sin (2 \pi e^t )), 0\le t \le \log 6\), \( (\cos s, \sin s ), 2\pi \le s \le 12 \pi. \) Quale dei due e' chiuso-regolare?
Esempio 4 (lezione del 10 Ottobre): cambiamento di parametro lineare crescente da un intervallo \( [a; b]\ni t\) ad un intervallo\( [A;B]\ni s\)
: s(t) =\( \frac{B-A}{b-a} \)(t-a) +A. VARIETA' 1-DIMENSIONALI
Esempio 1 (lezione dell' 11 Ott.): l'unione dei segmenti verticali \(\{1/n\}\times (0;1), n\in\) N+ e' una varieta' uno dimensionale.
L'unione di \( \{0\}\times (0;1)\) con i precedenti non e' tale.Esempio 2 (lezione dell' 11 Ott.): il sostegno del cammino g(t) = t(cos 1/t; sin 1/t), t>0 e' una varieta' uno dimensionale. Il sostegno dell'estensione G(t) in t=0 del precedente con il valore (0,0) [G(t)=g(t) per t>0 e G(0)=(0,0)] non e' una varieta'.
- DETERMINANTI, COORDINATE SFERICHE ``GEOGRAFICHE''
Esempio 1 (lezione del 12 Ott.): se M(t) e' un cammino di matrici invertibili \( (det M(t))^\prime = det M(t) \cdot tr(M(t)^{-1} M^\prime(t)) \);
Esempio 2 (lezione del 12 Ott.): una funzione a valori reali per cui \( f^\prime (t) = a f(t) \) , per ogni \( t\in ~\hbox{R} \), e' \( f(t) =c e^{at}, t\in \hbox{ R} \) ;
Esempio 3 (lezione del 12 Ott.): le coordinate sferiche ``geografiche'' in \( \hbox{R}^m \) sono definite induttivamente \( \rho \hat{r}_m = \rho (\cos\theta_{m-1} \hat{r}_{m-1} , \sin \theta_{m-1} ), \hat{r}_2=(\cos\theta_1 , \sin \theta_1 ) \)da un raggio \( \rho \geq 0 \), e se \( \rho >0 \) da m-2 ``latitudini''
\( \theta_2 , \dots ,\theta_{m-1} \in [-\frac {\pi}2 ; \frac{\pi} 2] \) (con \( \theta_k \) definita se \( \cos \theta_{k+h}\not=0, h>0, \) ), e una ``longitudine'' \( \theta_1\in [0;2\pi ) \) (definita se \( \cos \theta_{k}\not=0, k\geq 2, \) );
Esempio 4 (lezione del 12 Ott.): proprieta' che caratterizzaziono il determinante: multilinearita', alternanza, valore 1 sulla matrice identica;
Esempio 5 (lezione del 12 Ott.): significato geometrico intuitivo del determinante mxm
come m-volume con segno dell'm-parallelepipedo ``orientato'' avente vertici l'origine e tutte le somme a piu' addendi (senza addendi ripetuti) tra le colonne. Esemplificazione nel piano con i parallelogrammi. - DETERMINANTI E PRODOTTO VETTORIALE
[B] pagg. 112-126;
[F] pagg. 334-338. Limiti e continuita' negli spazi cartesiani.
LIMITI E CONTINUITA' PER FUNZIONI DI PIU' VARIABILI
Esempio 1 (lezione del 4 Ott.) f(x,y)= xy + yx , x>0, y> 0 non esistenza del limite per (x,y)-->(0,0), esistenza ed identita' dei limiti iterati.Esempio 2 (lezione del 4 Ott.) f(x,y)= (sin (2 π y/x2))2 se x2/2< y < x2, f(x,y)=0 altrimenti. Funzione con restrizioni a rette continue in tutti i punti, continua nei punti diversi da (0,0) ma non continua in (0,0).
- LIMITI IN PIU' VARIABILI
Esercizio (esercitazione del 18 Ottobre, cfr. F.E. 3): al variare di \( a\in {\bf R} \) studiare l'esistenza del limite \( \frac {x^2y-2xy+y}{(x^2-2x+1+y^2)^a},~ (x,y) \rightarrow (1,0) \). Spazi metrici, norme e prodotti scalari.
Derivate parziali e direzionali, differenziale, piani tangenti e normali a grafici, regola della catena, coordinate curvilinee.
- DERIVATE PARZIALI E DIREZIONALI
Esempio 1 (lezione del 24 Ott.): la funzione \( f(x,y)= xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},~~x^2+y^2\not=0~,~~ f(0,0)=0 \) ha derivate parziali miste in (0,0) e diverse (per il calcolo, anche delle derivate prime, conviene usare la definizione).
Esempio 2 (lezione del 24 Ott.): la funzione \( f(x,y)= x \left(\sin 2\pi \frac {y}{x^2}\right)^2,~\frac{x^2}2 \le y \le x^2, \) \( f(x,y)= 0,~\) altrimenti, ha in (0,0) tutte le derivate direzionali nulle. Quindi le curve sul grafico del tipo (ta,tb, f(ta, tb)) hanno velocita' orizzontali (a,b, 0). Ma la curva sul grafico \( (t, 3/4 t^2, t)\), passante per (0,0,0) in t=0, ha velocita' (1,0,1) in t=0, non orizzontale. Il grafico di tale funzione h non puo' aver un piano bidimensionale tangente in (0,0,0), pur esistendo tutte le derivate direzionali in (0,0). - Esercizio per casa (lezione del 25 Ott.): la funzione \( h(x,y) =\frac {x^3y}{x^4+y^2} (x,y)\not= (0,0), ~ h(0,0)= 0 \) ha tutte le derivate direzionali nulle in (0,0). Quindi le curve sezioni verticali piane del grafico in R3 hanno velocita' orizzontali (a,b, 0).
Si esprima h(x,y) come \( H\left( \frac {y}{x^2}\right) \). Si trovi quindi un cammino (a(t), b(t)) passante per (0,0) in t=0, per cui
\( \frac {d}{ dt} h(a(t),b(t))\vert_{t=0} \not=0 \).
Si argomenti per mostrare che il grafico di h non puo' avere piano tangente in (0,0,0). Teoremi del Dini, del rango, di invertibilita' locale, varieta' e superificie.
Esempio (lezione del 2 Novembre): calcolare il polinomio di Taylor del secondo ordine, di centro \( \displaystyle \frac{\pi}2 \) della funzione x=x(y) definita implicitamente nell'intorno di \( \displaystyle (0; \frac{\pi}2 )\) dalla relazione \( \displaystyle xy \sin (x+y) -y = - \frac{\pi}2 \).
Esempio 1 (lezione del 9 Novembre) L'insieme in \( {\bf R}^3 \) definito dalle condzioni \( f(x,y,z,)=2x^2-z =0~,~~g(z,y,z)= x^2-z\le 0 \), e' una variata' con bordo?
Esempio 2 (lezione del 9 Novembre) La superficie parametrica \( (\cos u , \sin u , v)~,\) \( 0\le u \le 2\pi ~,~~-1\le v \le 1 \) e' regolare in senso forte? E' una superficie parametrica regolare con bordo? Il suo sostegno e' una varieta' con bordo?
Esempio 3 (lezione del 9 Novembre) (Nastro di Möbius) Data la superficie parametrica
\(( (2-v\sin \frac u2)\sin u, (2-v\sin \frac u2)\cos u ,v\cos \frac u2)\),
\(0\le u \le 2\pi ~,~~-1\le v \le 1 \) :
scrivere le sue coordinate nel sistema di riferimento \( \hat c(u)= (\sin u , \cos u , 0), \hat d (u)= (\cos u , -\sin u , 0)\), \(\hat e_3=(0,0,1) \).
E' regolare in senso forte? E' una superficie parametrica regolare con bordo? Il suo sostegno e' una varieta' con bordo? Mostrare che il suo sostegno non e' orientabile.
Esempio 4 (lezione del 9 Novembre) Quante carte ci vogliono per avere un atlante della sfera con carte locali che siano``funzioni grafico' '?
Esercizio (lezione del 14 Novembre) mostrare che il sottoinsieme di \( {\mathbf R}^4 \) definito da: \( x^2+y^2=1, ~ x^2+z^2=1, ~ 1< z^2+w^2\le 4,~ y>0, \)
, e' una varieta' con bordo. Determinarne il bordo, ed impostare il calcolo per trovare il versore tangente, normale al bordo, esterno. Formula di Taylor per funzioni di piu' variabili.
Ottimizzazione e funzioni convesse
Esercizio (lezione del 15 Novembre) usando il metodo di quadratura mostrare che tipo di conica e' definita da \( x^2-y-2y^2=0 \)
Limiti di integrali, e compendio alla teoria su completezza e convergenza uniforme.
Integrali per sezione e per iterazione, Guldino Pappo 0.0, integrabilita' e sommabilita'.
- Esempio (lezione-esercitazione del 30 Novembre): le funzioni \( n\in {\mathbf N},~f_n(x)= x^n, 0\le x\le1,~ f_n(x)=1 ,~ 1\le x\le 2 \) sono continue su [0;2], per \( x\in[0;2] \) fissato la successione
\( f_n(x) \) converge per \( n\to \infty \) ad \( f(x)=0 ~\hbox{ se}~0\le x < 1, ~f(x)=1 ~\hbox{ se}~ 1\le x \le 2 \). La funzione \( f \) cosi definita e' discontinua, ma \( \int_0^2 |f_n(x)- f(x)|dx=\int_0^1 x^n dx= \frac 1{n+1}\to 0,~ n\to\infty \). Pertanto le funzioni continue su un segmento chiuso non sono con la distanza dell'integrale del modulo della differenza uno spazio completo. Cambiamenti di variabile e Guldino-Pappo 1.0 e 0.1, elemento di volume in coordinate ipersferiche geografiche; integrali su superficie e Guldino Pappo 2.0; area di settori curvilinei.
Studi qualitativi di sommabilita' con diseguaglianze e con coordinate polari o sferiche e pareggio degli esponenti. Miscellanea.
Campi conservativi, integrabili, chiusi, e invarianza per omotopia.
Integrazione orientata (flusssi) di campi attraverso superficie, orientazione indotta sul bordo. Teorema della divergenza nello spazio . Teorema di Stokes (rotore) nel piano. Teorema di Stokes.
Potenziali vettori.
- Riferimenti ai testi consigliati per argomento e Fogli di Teoria a completamento dei testi .
Riferimenti ai testi consigliati per argomento e Fogli di Teoria a completamento dei testi .
PER UN RIPASSO DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA ANALITICA:
[B] cap. III, cap.IV, in particolare per le forme quadratiche IV.5, 6 pagg.197-210.
[F] cap.2.16, 17, 19, in particolare per le forme quadratiche 3.36, 40.
- DETERMINANTI E PRODOTTO VETTORIALE
[B] pagg. 112-126;
[F] pagg. 334-338. Ripasso sulla nozione astratta di funzione, funzioni lineari. Distanza euclidea, norma e prodotto scalare: Cauchy-Schwarz. Limitati. Intorni, aperti e chiusi.
~~~~~ [FS] cap.2.8,9, 19 pagg.35-42, pagg.81-82.
~~~~~[B] cap.III.3, 7 pagg. 108-111, pagg. 127-137; cap IV.2, 3 pagg. 170-184; cap. V.6, 7 pagg. 247-252.
~~~~~[F] cap.2.14, 17, 19 Esem. 3 pagg. 78-79, pagg. 89-93, pagg. 96-97; cap.3.25 pagg.121-123.
Limiti. Compatti : Bolzano-Weiestrass. Cammini continui: Weiestrass. Derivabilita': versori e rette tangenti, cammini regolari. Integrali di cammini in spazi cartesiani: diseguaglianza triangolare per gli integrali di funzioni a valori in spazi cartesiani.
Riparametrizzazioni di cammini e di cammini chiusi, equivalenza di cammini, orientazione e cammini \( C^k \)
a tratti aperti o chiusi e regolari a tratti.
~~~~~[FS] cap.4.34,41, 42 pagg.155-164, pag. 190 (Lemma formula (41.1)), pagg.192-194.
~~~~~[B] cap. VI Teo. VI.43 pag. 301; cap. VII.2,3 Esem. VII.16 pagg.336-337, pagg. 338-342; cap V.1,2,3 pagg.227-239.
~~~~~[F] cap.2.22 pagg.108-110; cap 3.38 pagg. 176-179; cap. 4.43 pag. 228(Lemma formule (43.13) e (43.14)); cap.6.60 pagg.311-319.
- SPAZI ASTRATTI: METRICI, VETTORIALI NORMATI, CON PRODOTTO SCALARE:
[B] cap. IV.3 pagg.178-180; cap.IV.3 Esem.(IV.88) pagg. 210-211 (funzioni trigonometriche e prodotto scalare L2); cap. VII par. da 1 a 5 pagg. 331-348, in particolare distanze L1 ed uniforme nel piano pag.3332, per funzioni continue pag. 333-334 e distanza L2.
[F] cap. 1.8 formule da (8.10) a(8.12) pagg.53-53; cap.2 pagg 75-120 in particolare: formula (15.6) pag. 83, distanza uniforme per funzioni continue Esem. 4 pag. 79, distanze Lp negli spazi cartesiani pagg.96-97. - INTEGRALI DIPENDENTI DA PARAMETRI, PRIMA PARTE:CONTINUITA'
[B] pagg. 373-374, caso di dipendenza da un solo parametro e uso dell'uniforme continuita' con \( \epsilon, \delta \), piuttosto che \( \lim_{\rho \to 0} \sup_{ dist((x,t),(z,s))\le \rho} dist (f(x,t), f(z,s)) =0 \), e della composizione di funzioni continue nel caso di estremi variabili.
NOTA: rimane pero' da dimostrare, usando una versione semplificata del metodo esposto il 19 Ottobre, che \( H(r,s,x)=:\int_r^s f(t,x) dt \), pag. 374, e' continua nel complesso delle tre variabili. E questo non e' esplicitato nel libro..
[F] pagg. 156-157.
NOTA: e' la dimostrazione completa che semplifica, usando la composizione di funzioni continue, quanto esposto il 19 Ottobre. Continuta' e continuita' uniforme, limiti di successioni in spazi metrici, generazione di funzioni continue, preimmagini di funzioni continue.
Funzioni bilinerari, forme quadratiche, matrici. Funzioni bilineari antisimmetriche in \( {\bf R}^3 \) e prodotto vettoriale. Metodi per determinare la segnatura di una forma quadratica. Classificazione delle quadriche.
Funzioni multilineari, determinante, funzioni sesquilineari e prodotti scalari complessi. Formula per la derivate di un prodotto, formula per la derivata del determinante di un cammino di matrici, moti piani di rotazione. Varieta' 1-dimensionali, teorema del rango ``baby''.
Le nozioni di limite di funzioni tra spazi metrici, i principali enunciati sulla nozione di completezza.
LIMITI E CONTINUITA' PER FUNZIONI DI PIU' VARIABILI
[FS] pagg. 35-41, 81-83.
[B] pagg. 247-255.
[F] pagg. 121-125.
Lunghezza di cammini ed 1-varieta', ascissa curvilinea, integrazione non orientata di funzioni lungo cammini ed 1-varieta', ed integrazione orientata di campi lungo cammini ed 1-varieta' orientate.
LUNGHEZZA DI CAMMINI, INTEGRALI SU CAMMINI.
Lunghezza e parametro di lunghezza d'arco:
[FS] pagg. 164-171, 190-195;[B] pagg. 239-242;
[F] pagg. 319-325.
Coordinate polari e sferiche:
[FS] pagg. 160-167;
[B] pagg. 261-264;
[F] pagg. 316, 317, 323, 400, 401, 516-519.
Integrazione su cammini:
[FS] pagg.171-177, 193-195;
[B] pagg. 512-522;
[F] pagg. 325-329, 347-354.
- CURVATURA SCALARE, NORMALE PRINCIPALE, ACCELLERAZIONE CENTRIPETA.
[B] pagg. 242-245, 264-265;
[F] pagg. 329-334, 338-342. - DERIVATE PARZIALI, DIREZIONALI, DIFFERENZIABILITA' E GRADIENTE
[FS] Derivate parziali e direzionali pagg. 46-53, 83-84;
Differenziale gradiente e derivate direzionali pagg. 53-70, 84-85.
[B] Derivate parziali e direzionali pagg. 275-280, 293-294, 350-351, 358-360;
Differenziale e gradiente pagg.280-287, 290-292, 348-360.
[F] Aperti connessi pagg. 112-114;
Derivate parziali pagg. 126-135, 153-154;
Differenziale e gradiente pagg. 135-145, 176-185. - DERIVATE PARZIALI, DIREZIONALI, DIFFERENZIABILITA' E GRADIENTE
[FS] Derivate parziali e direzionali pagg. 46-53, 83-84;
Differenziale gradiente e derivate direzionali pagg. 53-70, 84-85.
[B] Derivate parziali e direzionali pagg. 275-280, 293-294, 350-351, 358-360;
Differenziale e gradiente pagg.280-287, 290-292, 348-360.
[F] Aperti connessi pagg. 112-114;
Derivate parziali pagg. 126-135, 153-154;
Differenziale e gradiente pagg. 135-145, 176-185. - ENUNCIATO FORTE DEL TEOREMA DI SCHWARZ (24 Ottobre)
Se in un piano affine bidimensionale passante per un punto p, e parallelo ad un piano bidimensionale coordinato, in un intorno, relativo nel piano, di p vi sono le derivate parziali prime rispetto alle due coordinate libere, e una derivata parziale seconda mista rispetto alle stesse, che sia continua nel punto p, allora vi e' l'altra nel punto p e sono uguali. - La dimostrazione della regola della catena.
- DIFFERENZIABILITA' CON CONTINUITA' DI INTEGRALI DIPENDENTI DA PARAMETRI.
[B] pagg. 373-374;
[F] pagg. 157-59. Varieta' senza e con bordo, teorema del rango e di invertibilita' locale, superficie: regolari con bordo o senza. Varieta' chiuse. Gradiente tangenziale e proiettori ortogonali: pseudo inversa di Moore-Penrose.
NOTA: una `varieta' con bordo' anche se sostegno di una superficie regolare in senso forte, non e' detto sia il sostegno di una `superficie con bordo'.
- PRESENTAZIONE SOTTOVARIETA'
[FS] superfici bidimensionali pagg. 243-252, teorema del Dini e di invertibilita' locale pagg.265-287;
[B] superfici bidimensionali pagg. 256-258, 287-289, 532-535 teorema del Dini per due variabili pagg. 307-310, per tre variabili pagg. 324-330, per sistemi ed invertibilita' locale pagg. 365-369, 376, 378, 379,
[F] superfici bidimensionali pagg. 545-565, 577-579, teoremi del Dini e di invertibilita' locale pagg. 591-620, sottovarieta' e loro piani tangenti pagg. 641-656. Formulazioni equivalenti della nozione di sottovarieta', atlanti, vettori tangenti esterni in punti di bordo, varieta' a pezzi, e criteri di invertibilita' globale.
NOTA: ai fini delle verifiche e' richiesto l'uso pratico delle condizioni 1, 2, 1b, 2b, 1e, 2e, e le nozioni di carta locale e atlante. Il paragrafo riguardante le varieta' a pezzi e' un approfondimento. Il paragrafo riguardante i criteri di invertibilita' globale non e' in programma.
BORDI, ED ORIENTABILITA' DI 2-VARIETA' NELLO SPAZIO TRIDIMENSIONALE
[B] pag. 535-536,
[F] pagg. 573-577, pagg. 693-694.Sviluppi di Taylor per funzioni di piu' variabili, multindici e sviluppo multinomiale.
NOTA: ai fini delle verifiche sono richieste: l'enunciato del teorema, l'uso pratico dell'unicita', l'indipendenza del comportamento asintotico del resto dalla direzione, le formule dello sviluppo con le derivate direzionali e con la notazione dei multiindici. In particolare per gli sviluppi del secondo ordine.
[FS] pagg. 71-73 (secondo ordine in due variabili), pag. 85 (secondo ordine in piu' variabili);
[B] pag. 295 (secondo ordine in due variabili), pagg.360-362;
[F] pagg.159-165.
Ottimizzazione, metodi diretti e indiretti, condizioni necessarie e sufficienti differenziali per l'estremalita' relativa nell'interno e al bordo.
[FS] pagg.73-81 (massimi e mininmi relativi in due variabili), pagg. 287-293 (moltiplicatori di Lagrange in due variabili), pagg 293-296 (moltiplicatori in piu' dimensioni);
[B] pagg. 301-307, 310-311 (in due variabili), pagg. 363-365 (condizioni differenziali necessarie e sufficienti per punti interni in piu' variabili), pagg. 369-371 (moltiplicatori di Lagrange);
[F] pagg. 169-176 (condizioni differenziali necessarie e condizioni sufficienti in aperti), pagg 623-634 (moltiplicatori di Lagrange).
Lezione del 16 Novembre:
3) Criteri per la segnatura delle quadriche (numeri con molteplicita' di autovalori positivi, negativi della matrice simmetrica associata):
3.1 matrici 2x2: segno determinante, traccia (o segno elementi diagonale), dimostrazione;
3.2 - regola di Cartesio per polinomi reali senza radici complesse,
- coefficienti polinomio caratteristico di matrci 3x3 e determinanti diagonali;
3.3 regola di Sylvester enunciato;
3.4 metodo di Gauss delle ``rigonne'': dimostrazione
- le stesse mosse di riduzione su una matrice simmetrca S fatte a coppie sulle righe e quindi sulle colonne
corrispondono a trasformare S in \( ~^t \)B S B, con B invertbile,
-la massima dimensione di un sottospazio sul quale la forma quadratica e' definita strettamente positiva e' il numero con molteplicita' degli autovalori positivi della simmetrica S associata, quindi e' lo stesso per \( ~^t \)B S B con B invertibile.
Moltiplicatori di Lagrange funzioni positivamente omogenee, forme quadratiche, autovalori.
[FS] pag. 291, pag. 294-295 (moltiplicatori e forma quadratiche);
[B] pagg. 380-381 (forme quadratiche, moltiplicatori ed autovalori: una caratterizzazione variazionale);
[F] pagg. 629-634 (moltiplicatori e funzioni positivamente omogenee).
Schema sulla definizione di insieme convesso e sulle funzioni convesse con disegni esplicativi.
Insiemi di misura nulla e misurabili (in particolare insiemi nulli e domini normali), misura di Lebesgue e sue proprieta' (in particolare numerabile additivita' e relazione con il determinante), funzioni misurabili e loro proprieta' ( in particolare convergenza quasi ovunque e funzioni continue) , integrale di Lebesgue e sue proprieta'(in particolare teoremi di passaggio al limite sotto segno di integrale per convergenza monotona e dominata e derivazione sotto segno di integrale). Relazioni con le funzioni continue. Teoremi di sezione e di scambio e accorpamento negli integrali multipli, integrali iterati, integrali su domini normali.
NOTA: si tratta di uno schema per esporre succintamente l'argomento, definizioni ed enunciati precisi, e non per sviluppare una linea dimostrativa. Non vi sono esempi e sono pochissime le dimostrazioni. I riferimenti ai testi consigliati riguardano principalmente gli esempi e i risultati finali essendo gli apparati definitori diversi.
- Il foglio 13bis dovrebbe essere di piu' agevole lettura essendo omesse le dimostrazioni piu' tecniche e avendo messo in risalto gli argomenti anche cambiandone l'ordine.
[FS] integrali doppi su domini normali pagg. 201-214, integrali tripli su domini normali pagg. 234-236;
[B] integrali doppi pagg. 461-477, (determinante 479), integrali tripli pagg. 487- 492, esercizi (anche per combaimento di variabili e integrali di superficie) 495-513;
[F] integrali doppi e tripli su domini normali (371) 380-382, 386-390, 408-411, integrali in piu' variabili e funzioni continue pagg. 428-430, 438-442, un approccio diverso alla teoria di Lebesgue pagg. (450) 464-467, 468, 471, 474, 475-478,, 481-489, 490-493, 495, 496, `497, 501, 502-506, 508-514.
Compendio alla teoria nel Foglio di Esercizi n. 9.
In allegato solo esercizi del foglio 11. Per la teoria cfr. registro lezioni e:
[FS] cambiamenti di variabile pagg. 224-233, 237-241, integrali su superficie pagg. 252-259;
[B] pagg. 262-264, 477-486, 492-508, 529, 536-540, 540-542, 557-560;
[F] pagg. 400-408, 411-414, 440-442, 444-448, 515-530, 557-560, 565-573, 579-581.
Sono specificate le pagine attinenti, nei testi di riferimento, tra quelle gia' elencate.
Alcuni complementi si trovano nel foglio di esercizi n. 11 al paragrafo dedicato.
[FS] pagg. 252-259, 224-226;
[B] pagg. 485-486, 536-540, 557-560;
[F] pagg.565-573, 579-581.
Campi conservativi, integrabili o esatti, chiusi o irrotazionali, invarianza per omotopia, domini stellati e semplicemente connessi. Campo solenoidale e campo gravitazionale.
NOTA: in [F] e [FS] la notazione delle forme differenziali (\( a(x,y)dx + b(x,y) dy; ~ a(x,y,z) dx + b(x,y,z) dy+ c(x,y,z)dz; ~a_1(x) dx_1 + \dots a_n(x) dx_n \) corrisponde ai campi di vettori \( (a(x,y), b(x,y));~ (a(x,y,z), b(x,y,z);~ c(x,y,z)); \) \( ~ (a_1(x_1, \dots , x_N), \dots , a_N(x_1,\dots , x_n )) \)
[FS] pagg. 177- 190, 192-200;
[B] pagg. 522-529, 551-555, 564-565;
[F] pagg.350-369.
Integrazione orientata di campi su superficie, potenziali vettoriali, flussi, notazione delle forme differenziali teoremi di Stokes e della divergenza
Sono specificate le pagine attinenti, nei testi di riferimento.
Alcuni complementi si trovano nel foglio di esercizi n. 13.
[FS] pagg. 259-265;[B] pagg.529-570;
[F] pagg. 39-401, 573-579, 581-590.
- Siti dell'insegnamento Analisi 2 per i corsi di laurea di Ignegneria Civile Ambientale Edile per l gli A.A. 2014-2015/2015-2016
Siti dell'insegnamento Analisi 2 per i corsi di laurea di Ignegneria Civile Ambientale Edile per l gli A.A. 2014-2015/2015-2016
I seguenti collegamenti permettono di accedere direttamente ai siti dell'insegnamento affine dei due precedenti anni accademici.
Tra l'altro vi si trovano i testi di esame, prove in itinere e di ingresso, con risoluzione dei quesiti.
Liste di esercizi, appunti delle lezioni.
Liste di esercizi, appunti delle lezioni.
- Libri di Analisi
Libri di Analisi
- Il materiale di questi appunti contiene anche argomenti del corso di Analisi 2 a cui si fara' riferimento, oltre che i classici argomenti dei prerequisiti di Analisi 1.
- Questi appunti contengono anche approfondimenti ed argomenti che non verranno affrontati nel corso di quest'anno.
Appunti con i principali argomenti e con gli esempi e gli esercizi di base.
- Argomento 7
Argomento 7
- Argomento 39
Argomento 39
- Argomento 41
Argomento 41