Indice degli argomenti

  • SITO DELL'INSEGNAMENTO ANALISI MATEMATICA II, A.A. 2016-2017, 6 crediti (432AA), CdS IEA-LM5 INGEGNERIA EDILE-ARCHITETTURA


  • Registro delle lezioni 2016-2017

  • RICEVIMENTO STUDENTI

    • Vincenzo Maria Tortorelli nel primo semestre: su appuntamento e di norma, il lunedi dopo  la lezione dalle 18,30. Altro appuntamento fisso da determinare in base alle preferenze degli studenti fuori sede.

  • Fogli di Esercizi

    • Foglio di esercizi n. 1 File

      Studi elementari di funzioni vettoriali di piu' variabil (cfr. Fogli di teoria 1 e 2).

    • Foglio di esercizi n. 2 File

      Curve parametriche (cammini),  1-varieta',  lunghezza,  integrazione su cammini orientata  e non orientata.

    • CAMMINI: DESCRIZIONE SOSTEGNO,  AUTOINTERSEZIONI, COMPORTAMENTI ASINTOTICI, COMPORTAMENTI CON DERIVATA NULLA.

      Esempio 1 (lezione del 5 Ottobre): (cos t, sin 2t): estremi, autointersezioni,  cambio del segno delle derivate delle funzioni componenti, riduzione a grafici, simmetrie.

      Esempio 2 (lezione del 5 Ottobre): (t3 cos 1/t , t3 sin 1/t , t3), \( 0< t \leq \pi \);  (0 , 0, 0), t=0: proiezione nel piano coordinato, velocita' continua, velocita' nulla.

      Esempio 3 (lezione del 5 Ottobre): -2t(1,2), \( t\leq 0 \), -(sin 2 artan t , sin 4 artan t), \( t \geq 0 \):
      cammino semplice con ``cappio''.
    • RIPARAMETRIZZAZIONI, GIUSTAPPOSIZIONE DI CAMMINI, VELOCITA' UNITARIA.

      Esempio 1 (lezione del 10 Ottobre): trovare una parametrizzazione q(t)  semplice del quadrato di vertici (0,0), (1,0), (1,1), (0,1): primo lato t(1,0), \( 0\le t \le 1 \), secondo lato (1,0)+(t-1)(0,1), \( 1\le t\le 2 \), terzo lato (1,1) -(t-2)(1,0), \( 2\le t\le 3 \), quarto lato (0,1)-(t-4)(0,1), \( 3\le t\le 4 \) .  Se nei vertici si sceglie una delle due velocita', si ottiene una funzione vettoriale  discontinua negli istanti di passaggio per i vertici.

      Esempio 2 (lezione del 10 Ottobre): trovare una parametrizzazione C1 del quadrato di vertici (0,0), (1,0), (1,1), (0,1):  si cerca  Q(s)= q( t(s)) \( 0\le s \le 4 \), t(s) crescente con immagine [0;4].  Negli istanti S di passaggio per i vertici V essendoci angoli dovra' essere Q'(S)=(0,0). Scegliendo la derivata sinistra di q si ha Q'(S)=q'-(t(S)) t'(S). Ma qualsiasi scelta di q' e' sempre non nullla, quindi sul primo lato si deve avere t'(0)=t'(1)=0.
      Quindi  si puo' scegliere per esempio t(s)= \( \frac{1-\cos \pi s}2 \), \( 0\le s \le 1 \). Sugli altri lati si procede in modo analogo.

      Esempio 3 (lezione del 10 Ottobre): confrontare velocita'  agli istanti iniziali e finali, e il modo di percorrere il sostegno, dei cammini \( (\cos (2\pi e^t ), \sin (2 \pi e^t )), 0\le t \le \log 6\),  \( (\cos s, \sin s ), 2\pi \le s \le 12 \pi. \) Quale dei due e' chiuso-regolare?

      Esempio 4 (lezione del 10 Ottobre): cambiamento di parametro lineare crescente  da un intervallo \( [a; b]\ni t\) ad un intervallo\( [A;B]\ni s\)
      : s(t) =\( \frac{B-A}{b-a} \)(t-a) +A.

    • VARIETA' 1-DIMENSIONALI

      Esempio 1 (lezione dell' 11 Ott.): l'unione dei segmenti verticali \(\{1/n\}\times (0;1), n\in\) N+ e' una varieta' uno dimensionale.
      L'unione di \( \{0\}\times  (0;1)\) con i precedenti non e' tale.

      Esempio 2 (lezione dell' 11 Ott.): il sostegno del cammino g(t) = t(cos 1/t; sin 1/t), t>0 e' una varieta' uno dimensionale. Il sostegno dell'estensione G(t)  in t=0 del precedente con il valore (0,0) [G(t)=g(t) per t>0 e G(0)=(0,0)] non e' una varieta'.

    • DETERMINANTI,  COORDINATE SFERICHE ``GEOGRAFICHE''

      Esempio 1 (lezione del 12 Ott.): se M(t) e' un cammino di matrici invertibili \( (det M(t))^\prime = det M(t) \cdot tr(M(t)^{-1} M^\prime(t)) \);

      Esempio 2 (lezione del 12 Ott.): una funzione a valori reali per cui \( f^\prime (t) = a f(t) \) , per ogni \( t\in ~\hbox{R} \), e'   \( f(t) =c e^{at}, t\in \hbox{ R} \) ;

      Esempio 3 (lezione del 12 Ott.): le coordinate sferiche ``geografiche'' in  \( \hbox{R}^m \) sono definite induttivamente  \( \rho \hat{r}_m = \rho (\cos\theta_{m-1} \hat{r}_{m-1} , \sin \theta_{m-1} ), \hat{r}_2=(\cos\theta_1 , \sin \theta_1 ) \)da un raggio \( \rho \geq 0 \), e se  \( \rho >0 \) da m-2 ``latitudini''  
      \( \theta_2 , \dots ,\theta_{m-1} \in [-\frac {\pi}2 ; \frac{\pi} 2] \)  (con \( \theta_k \) definita se \( \cos \theta_{k+h}\not=0, h>0, \) ),  e una ``longitudine''  \( \theta_1\in [0;2\pi ) \) (definita se \( \cos \theta_{k}\not=0, k\geq 2, \) );

      Esempio 4 (lezione del 12 Ott.): proprieta' che caratterizzaziono il determinante: multilinearita', alternanza, valore 1 sulla matrice identica;

      Esempio 5 (lezione del 12 Ott.): significato geometrico intuitivo del determinante  mxm
      come m-volume con segno dell'm-parallelepipedo ``orientato'' avente vertici l'origine e tutte le somme a piu' addendi  (senza addendi ripetuti)  tra le colonne. Esemplificazione nel piano con i parallelogrammi.
    • DETERMINANTI E PRODOTTO VETTORIALE

      [B] pagg. 112-126;

      [F] pagg. 334-338.
    • Foglio di esercizi n. 3 File

      Limiti e continuita' negli spazi cartesiani.

    • LIMITI E CONTINUITA' PER FUNZIONI DI PIU' VARIABILI

      Esempio 1 (lezione del 4 Ott.) f(x,y)= xy +  yx  , x>0, y> 0 non esistenza del limite per (x,y)-->(0,0), esistenza ed identita' dei  limiti iterati.

      Esempio 2 (lezione del 4 Ott.) f(x,y)= (sin (2 π y/x2))2 se x2/2< y < x2, f(x,y)=0 altrimenti. Funzione con restrizioni a rette continue in tutti i punti, continua nei punti diversi da (0,0) ma non continua in (0,0).

    • LIMITI IN PIU' VARIABILI

      Esercizio (esercitazione del 18 Ottobre, cfr. F.E. 3): al variare di \( a\in {\bf R} \) studiare l'esistenza del limite  \( \frac {x^2y-2xy+y}{(x^2-2x+1+y^2)^a},~ (x,y) \rightarrow (1,0) \).
    • Foglio di esercizi n. 4 File

      Spazi metrici, norme e prodotti scalari.

    • Foglio di esercizi n. 5 File

      Derivate parziali  e direzionali, differenziale, piani tangenti e normali a grafici, regola della catena, coordinate curvilinee.

    • DERIVATE PARZIALI E DIREZIONALI

      Esempio 1 (lezione del 24 Ott.): la funzione \( f(x,y)= xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},~~x^2+y^2\not=0~,~~ f(0,0)=0 \) ha derivate parziali miste in (0,0) e diverse (per il calcolo, anche delle derivate prime, conviene usare la definizione).

      Esempio 2 (lezione del 24 Ott.):  la funzione  \( f(x,y)= x \left(\sin 2\pi \frac {y}{x^2}\right)^2,~\frac{x^2}2 \le y \le x^2, \)  \( f(x,y)= 0,~\) altrimenti, ha in (0,0) tutte le derivate direzionali nulle. Quindi  le curve sul grafico del tipo (ta,tb, f(ta, tb)) hanno velocita' orizzontali (a,b, 0).  Ma la curva sul grafico \( (t, 3/4 t^2, t)\), passante per (0,0,0) in t=0,   ha velocita' (1,0,1) in t=0,  non orizzontale. Il grafico di tale funzione h non puo' aver un piano bidimensionale tangente in (0,0,0), pur esistendo tutte le derivate direzionali in (0,0).
    • Esercizio per casa (lezione del 25 Ott.): la funzione \( h(x,y) =\frac {x^3y}{x^4+y^2} (x,y)\not= (0,0), ~ h(0,0)= 0 \) ha tutte le derivate direzionali nulle in (0,0). Quindi le curve sezioni verticali piane del grafico in R3 hanno velocita' orizzontali  (a,b, 0).
      Si esprima h(x,y) come \( H\left( \frac {y}{x^2}\right) \). Si trovi quindi un cammino (a(t), b(t)) passante per (0,0) in t=0,  per cui

      \( \frac {d}{ dt} h(a(t),b(t))\vert_{t=0} \not=0 \).

      Si argomenti per mostrare che il grafico di h non puo' avere piano tangente in (0,0,0).
    • Foglio di Esercizi n. 6 File

      Teoremi del Dini, del rango, di invertibilita' locale, varieta' e superificie.

    • Esempio (lezione del 2 Novembre): calcolare il polinomio di Taylor del secondo ordine, di centro \( \displaystyle \frac{\pi}2 \) della funzione x=x(y) definita implicitamente nell'intorno di \( \displaystyle (0; \frac{\pi}2 )\) dalla relazione \( \displaystyle xy \sin (x+y) -y = - \frac{\pi}2 \).

      Esempio 1 (lezione del 9 Novembre) L'insieme in \( {\bf R}^3 \) definito dalle condzioni \( f(x,y,z,)=2x^2-z =0~,~~g(z,y,z)= x^2-z\le 0 \),  e' una variata' con bordo?

      Esempio 2 (lezione del 9 Novembre) La superficie parametrica \( (\cos u , \sin u , v)~,\)  \( 0\le u \le 2\pi ~,~~-1\le v \le 1 \) e' regolare in senso forte? E' una superficie parametrica regolare con bordo? Il suo sostegno e'  una varieta' con bordo?

      Esempio 3 (lezione del 9 Novembre) (Nastro di Möbius) Data la superficie parametrica

      \(( (2-v\sin \frac u2)\sin  u, (2-v\sin \frac u2)\cos  u ,v\cos \frac u2)\),

      \(0\le u \le 2\pi ~,~~-1\le v \le 1 \) :

      scrivere le sue coordinate nel sistema di riferimento \( \hat c(u)= (\sin u , \cos u , 0), \hat d (u)= (\cos u , -\sin u , 0)\), \(\hat e_3=(0,0,1) \).

      E' regolare in senso forte? E' una superficie parametrica regolare con bordo? Il suo sostegno e'  una varieta' con bordo? Mostrare che il suo sostegno non e' orientabile.

      Esempio 4 (lezione del 9 Novembre) Quante carte ci vogliono per avere un atlante della sfera con carte locali che siano``funzioni grafico' '?

      Esercizio  (lezione del 14 Novembre) mostrare che il sottoinsieme di \( {\mathbf R}^4 \) definito da: \( x^2+y^2=1, ~ x^2+z^2=1, ~ 1< z^2+w^2\le 4,~ y>0, \), e' una varieta' con bordo.  Determinarne il bordo, ed impostare il calcolo per trovare il versore tangente, normale al bordo, esterno.

    • Foglio di Esercizi n. 7 File

      Formula di Taylor per funzioni  di piu' variabili.

    • Foglio di Esercizi n. 8 File

      Ottimizzazione e funzioni convesse

      Esercizio (lezione del 15 Novembre) usando il metodo di quadratura mostrare che tipo di conica e' definita da \( x^2-y-2y^2=0 \)


    • Foglio di Esercizi n. 9 File

      Limiti di integrali, e compendio alla teoria su completezza e  convergenza uniforme.

    • Foglio di Esercizi n. 10 File

      Integrali per sezione e per iterazione, Guldino Pappo  0.0, integrabilita' e sommabilita'.

    • Esempio (lezione-esercitazione del 30 Novembre):  le funzioni \( n\in {\mathbf N},~f_n(x)= x^n, 0\le x\le1,~ f_n(x)=1 ,~ 1\le x\le 2 \) sono continue su [0;2], per \( x\in[0;2] \) fissato la successione
      \( f_n(x) \) converge per \( n\to \infty \) ad \( f(x)=0 ~\hbox{ se}~0\le x < 1, ~f(x)=1 ~\hbox{ se}~ 1\le x \le 2 \). La funzione \( f \)  cosi definita e' discontinua, ma \( \int_0^2 |f_n(x)- f(x)|dx=\int_0^1 x^n dx= \frac 1{n+1}\to 0,~ n\to\infty \). Pertanto le funzioni continue su un segmento chiuso non sono  con la distanza dell'integrale del modulo della differenza uno spazio completo.
    • Foglio di Esercizi n. 11 File

      Cambiamenti di variabile e Guldino-Pappo 1.0 e 0.1,  elemento di volume in coordinate ipersferiche geografiche; integrali su superficie e Guldino Pappo 2.0; area di settori curvilinei.

      Studi qualitativi di sommabilita' con diseguaglianze e con coordinate polari o sferiche e pareggio degli esponenti.  Miscellanea.

    • Foglio di Esercizi n. 12 File

      Campi conservativi, integrabili, chiusi, e invarianza per omotopia.

    • Foglio di Esercizi n. 13 File

      Integrazione orientata (flusssi) di campi attraverso superficie, orientazione indotta sul bordo. Teorema della divergenza nello spazio  . Teorema di Stokes (rotore) nel piano. Teorema di Stokes.

      Potenziali vettori.

  • Riferimenti ai testi consigliati per argomento e Fogli di Teoria a completamento dei testi .

    • PER UN RIPASSO DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA ANALITICA:

      [B] cap. III, cap.IV, in particolare per le forme quadratiche  IV.5, 6 pagg.197-210.

      [F] cap.2.16, 17, 19, in particolare per le forme quadratiche  3.36, 40.

    • DETERMINANTI E PRODOTTO VETTORIALE

      [B] pagg. 112-126;

      [F] pagg. 334-338.
    • Foglio di teoria n.1 : nozioni elementari. File

      Ripasso sulla nozione astratta di funzione, funzioni lineari. Distanza euclidea, norma e prodotto scalare: Cauchy-Schwarz. Limitati. Intorni, aperti e chiusi.

    • ~~~~~ [FS] cap.2.8,9, 19 pagg.35-42,  pagg.81-82.

      ~~~~~[B] cap.III.3, 7 pagg. 108-111, pagg. 127-137; cap IV.2, 3 pagg. 170-184; cap. V.6, 7 pagg. 247-252.

      ~~~~~[F] cap.2.14, 17, 19 Esem. 3 pagg. 78-79, pagg. 89-93, pagg. 96-97; cap.3.25 pagg.121-123.

    • Foglio di teoria n.2: funzioni di una variabile e successioni in spazi cartesiani. File

      Limiti. Compatti : Bolzano-Weiestrass. Cammini  continui: Weiestrass. Derivabilita': versori e rette tangenti, cammini regolari. Integrali di cammini in spazi cartesiani: diseguaglianza triangolare per gli integrali di funzioni a valori in spazi cartesiani.

    • Appendice al foglio di teoria n.2: riparametrizzazioni di cammini (aggiornato l'8 Gennaio 2017). File

      Riparametrizzazioni di cammini e di cammini chiusi, equivalenza di cammini, orientazione e cammini \( C^k \)

      a tratti aperti o chiusi e regolari a tratti.

    • ~~~~~[FS] cap.4.34,41, 42 pagg.155-164, pag. 190 (Lemma formula  (41.1)), pagg.192-194.

      ~~~~~[B] cap. VI Teo. VI.43 pag. 301; cap. VII.2,3 Esem. VII.16 pagg.336-337, pagg. 338-342; cap V.1,2,3 pagg.227-239.

      ~~~~~[F] cap.2.22  pagg.108-110; cap 3.38 pagg. 176-179; cap. 4.43 pag. 228(Lemma formule  (43.13) e (43.14)); cap.6.60 pagg.311-319.

    • SPAZI ASTRATTI: METRICI, VETTORIALI NORMATI, CON PRODOTTO SCALARE:

      [B] cap. IV.3 pagg.178-180; cap.IV.3 Esem.(IV.88)  pagg. 210-211 (funzioni trigonometriche e prodotto scalare L2); cap. VII par. da 1 a 5 pagg. 331-348, in particolare distanze L1 ed uniforme nel piano  pag.3332, per funzioni continue pag. 333-334 e distanza L2.

      [F] cap. 1.8 formule da (8.10) a(8.12) pagg.53-53; cap.2 pagg 75-120 in particolare: formula  (15.6) pag. 83, distanza uniforme per funzioni continue Esem. 4 pag. 79, distanze Lp negli spazi cartesiani  pagg.96-97.
    • INTEGRALI DIPENDENTI DA PARAMETRI, PRIMA PARTE:CONTINUITA'

      [B] pagg. 373-374,  caso di dipendenza da un solo parametro e uso dell'uniforme continuita'  con \( \epsilon, \delta \), piuttosto che \( \lim_{\rho \to 0} \sup_{ dist((x,t),(z,s))\le \rho} dist (f(x,t), f(z,s)) =0 \), e della composizione di funzioni continue nel caso di estremi variabili.

      NOTA: rimane pero' da dimostrare, usando una versione semplificata del metodo esposto il 19 Ottobre, che  \( H(r,s,x)=:\int_r^s f(t,x) dt \), pag. 374, e' continua nel complesso delle tre variabili. E questo non e' esplicitato nel libro..


      [F]  pagg. 156-157.

      NOTA: e' la dimostrazione completa che semplifica, usando la composizione di funzioni continue, quanto esposto il 19 Ottobre.
    • Foglio di teoria n.3: continuita' prima parte. File

      Continuta' e continuita' uniforme, limiti di successioni in spazi metrici, generazione di funzioni continue, preimmagini di funzioni continue.

    • Foglio di teoria 3bis File

      Funzioni bilinerari, forme quadratiche, matrici. Funzioni bilineari antisimmetriche in \( {\bf R}^3 \) e prodotto vettoriale. Metodi per determinare la segnatura di una forma quadratica. Classificazione delle quadriche.

    • Foglio di teoria n. 4: derivate di prodotti di cammini, varieta' 1-dimensionali. File

      Funzioni multilineari,  determinante, funzioni sesquilineari e prodotti scalari complessi. Formula per la derivate di un prodotto, formula per la derivata del determinante di un cammino di matrici, moti piani di rotazione. Varieta' 1-dimensionali, teorema del rango ``baby''.

    • Foglio di teoria n.5: limiti, continuita' seconda parte, completezza. File

      Le nozioni di limite di funzioni tra spazi metrici, i principali enunciati sulla nozione di completezza.

    • LIMITI E CONTINUITA' PER FUNZIONI DI PIU' VARIABILI

      [FS] pagg. 35-41, 81-83.

      [B] pagg. 247-255.

      [F] pagg. 121-125.

    • Foglio di teoria n. 6: integrali lungo cammini(aggiornato il 26 Gennaio 2017). File

      Lunghezza di cammini ed 1-varieta',  ascissa curvilinea, integrazione non orientata di funzioni lungo cammini ed 1-varieta', ed integrazione orientata di campi lungo cammini ed 1-varieta' orientate.

    • LUNGHEZZA DI CAMMINI, INTEGRALI SU CAMMINI.


      Lunghezza e parametro di lunghezza d'arco:
      [FS] pagg. 164-171,  190-195;

      [B] pagg.  239-242;

      [F] pagg. 319-325.

      Coordinate polari e sferiche:

      [FS] pagg. 160-167;

      [B] pagg. 261-264;

      [F] pagg. 316, 317, 323, 400, 401, 516-519.

      Integrazione su cammini:

      [FS] pagg.171-177, 193-195;

      [B] pagg. 512-522;

      [F] pagg. 325-329, 347-354.

    • CURVATURA SCALARE,  NORMALE PRINCIPALE,  ACCELLERAZIONE CENTRIPETA.

      [B] pagg. 242-245, 264-265;

      [F] pagg. 329-334, 338-342.


    • DERIVATE PARZIALI, DIREZIONALI, DIFFERENZIABILITA' E GRADIENTE

      [FS]  Derivate parziali e direzionali pagg. 46-53, 83-84;
       Differenziale gradiente e  derivate direzionali pagg. 53-70, 84-85.

      [B]  Derivate parziali e direzionali pagg. 275-280, 293-294, 350-351, 358-360;
      Differenziale  e gradiente pagg.280-287, 290-292, 348-360.

      [F]  Aperti connessi pagg. 112-114;
      Derivate parziali pagg. 126-135, 153-154;
      Differenziale  e gradiente pagg. 135-145, 176-185.
    • DERIVATE PARZIALI, DIREZIONALI, DIFFERENZIABILITA' E GRADIENTE

      [FS]  Derivate parziali e direzionali pagg. 46-53, 83-84;
       Differenziale gradiente e  derivate direzionali pagg. 53-70, 84-85.

      [B]  Derivate parziali e direzionali pagg. 275-280, 293-294, 350-351, 358-360;
      Differenziale  e gradiente pagg.280-287, 290-292, 348-360.

      [F]  Aperti connessi pagg. 112-114;
      Derivate parziali pagg. 126-135, 153-154;
      Differenziale  e gradiente pagg. 135-145, 176-185.
    • ENUNCIATO FORTE DEL  TEOREMA DI SCHWARZ (24  Ottobre)

      Se in un piano affine bidimensionale passante per un punto p, e parallelo ad un piano bidimensionale  coordinato, in un intorno, relativo nel piano, di p vi sono le derivate parziali prime rispetto alle due coordinate libere, e  una derivata parziale seconda mista rispetto alle stesse, che sia continua nel punto p,  allora vi e' l'altra nel punto p e sono uguali.

    • Foglio di teoria n. 8. File
      La dimostrazione della regola della catena.
    • DIFFERENZIABILITA' CON CONTINUITA' DI INTEGRALI DIPENDENTI DA PARAMETRI.

      [B] pagg. 373-374;

      [F] pagg. 157-59.
    • Foglio di teoria n.6bis: varieta', superficie, differenziale tangenziale (aggiornato l' 8 Gennaio 2017) . File

      Varieta' senza e con bordo, teorema del rango e di invertibilita' locale, superficie: regolari con bordo o senza. Varieta' chiuse.  Gradiente tangenziale e proiettori ortogonali: pseudo inversa di Moore-Penrose.


      NOTA: una `varieta' con bordo' anche se  sostegno di una superficie regolare in senso forte, non e' detto sia il sostegno di una `superficie con bordo'.

    • PRESENTAZIONE SOTTOVARIETA'

      [FS] superfici bidimensionali pagg. 243-252, teorema del Dini e di invertibilita' locale pagg.265-287;

      [B] superfici bidimensionali pagg. 256-258, 287-289, 532-535 teorema del Dini per due variabili  pagg. 307-310, per  tre variabili pagg. 324-330,  per sistemi  ed invertibilita' locale pagg. 365-369, 376, 378, 379,

      [F]  superfici bidimensionali pagg. 545-565, 577-579,  teoremi del Dini e di invertibilita' locale pagg. 591-620, sottovarieta' e loro piani tangenti pagg.  641-656.
    • Foglio di teoria n. 9 (aggiornato il 8 Gennaio 2017) File

      Formulazioni equivalenti della nozione di sottovarieta', atlanti, vettori tangenti esterni in punti di bordo, varieta' a pezzi, e criteri di invertibilita' globale.

      NOTA: ai fini delle verifiche e' richiesto l'uso pratico delle condizioni 1, 2, 1b, 2b, 1e, 2e, e le nozioni di carta locale e atlante. Il paragrafo riguardante le varieta' a pezzi e' un approfondimento. Il paragrafo riguardante i criteri di invertibilita' globale non e' in programma.


      BORDI,  ED ORIENTABILITA' DI 2-VARIETA' NELLO SPAZIO TRIDIMENSIONALE


      [B] pag. 535-536,

      [F]  pagg. 573-577, pagg. 693-694.


    • Foglio di teoria n. 10 File

      Sviluppi di Taylor per funzioni di piu' variabili, multindici e sviluppo multinomiale.

      NOTA: ai fini delle verifiche  sono richieste:  l'enunciato del teorema, l'uso pratico dell'unicita',  l'indipendenza del comportamento asintotico del resto dalla direzione,  le formule dello sviluppo con le derivate direzionali e con la notazione dei multiindici. In particolare per gli sviluppi del secondo ordine.


      [FS] pagg. 71-73 (secondo ordine in due variabili), pag. 85 (secondo ordine in piu' variabili);

      [B] pag. 295 (secondo ordine in due variabili), pagg.360-362;

      [F]  pagg.159-165.

    • Foglio di teoria n. 11 File

      Ottimizzazione, metodi diretti e indiretti, condizioni necessarie e sufficienti differenziali per l'estremalita' relativa nell'interno e al bordo.

      [FS] pagg.73-81 (massimi e mininmi relativi in due variabili),  pagg. 287-293 (moltiplicatori di Lagrange in due variabili), pagg 293-296  (moltiplicatori in piu' dimensioni);

      [B] pagg. 301-307, 310-311 (in due variabili),  pagg. 363-365 (condizioni differenziali necessarie e sufficienti per punti interni in piu' variabili), pagg. 369-371 (moltiplicatori di Lagrange);

      [F] pagg. 169-176 (condizioni differenziali necessarie e  condizioni sufficienti in aperti), pagg 623-634 (moltiplicatori di Lagrange).


    • Lezione del 16 Novembre:

      3) Criteri per la segnatura delle quadriche (numeri con molteplicita' di autovalori positivi, negativi della matrice simmetrica associata):

      3.1 matrici 2x2: segno determinante, traccia (o segno elementi diagonale), dimostrazione;

      3.2 - regola di Cartesio per polinomi reali senza radici complesse,

      - coefficienti polinomio caratteristico di matrci 3x3 e determinanti diagonali;

      3.3 regola di Sylvester enunciato;

      3.4 metodo di Gauss delle ``rigonne'': dimostrazione

      - le stesse mosse di riduzione su una matrice simmetrca S fatte a coppie  sulle righe e quindi sulle colonne

      corrispondono a trasformare S in \( ~^t \)B S B, con B invertbile,

      -la massima dimensione di un sottospazio sul quale la forma quadratica e' definita strettamente positiva e' il numero con molteplicita' degli autovalori positivi della simmetrica S associata, quindi  e' lo stesso per \( ~^t \)B S B con B invertibile.

    • Foglio di teoria n. 12 File

      Moltiplicatori di Lagrange funzioni positivamente omogenee, forme quadratiche, autovalori.


      [FS] pag. 291, pag. 294-295  (moltiplicatori e forma quadratiche);

      [B] pagg. 380-381 (forme quadratiche, moltiplicatori ed autovalori: una caratterizzazione variazionale);

      [F] pagg. 629-634 (moltiplicatori e funzioni positivamente omogenee).

    • Foglio di teoria n. 12bis (manoscritto) File

      Schema sulla definizione di insieme convesso e sulle funzioni convesse con disegni esplicativi.

    • Fogli di teoria n. 13: schema per la teoria dell'integrazione alla Lebesgue File

      Insiemi di misura nulla e misurabili (in particolare insiemi nulli e domini normali), misura di Lebesgue e sue proprieta' (in particolare numerabile additivita' e relazione con il determinante), funzioni misurabili e  loro proprieta' ( in particolare convergenza quasi ovunque  e funzioni continue) , integrale di Lebesgue e sue proprieta'(in particolare teoremi di passaggio al limite sotto segno di integrale per convergenza monotona e dominata e derivazione sotto segno di integrale). Relazioni con le funzioni continue. Teoremi di sezione e di scambio e accorpamento negli integrali multipli, integrali iterati, integrali su domini normali.

      NOTA: si tratta di uno schema per esporre succintamente l'argomento, definizioni ed enunciati precisi, e non per sviluppare una linea dimostrativa. Non vi sono esempi e sono pochissime le dimostrazioni. I riferimenti ai testi consigliati riguardano principalmente gli esempi e i risultati finali essendo gli apparati definitori  diversi.


    • Foglio di teoria 13 bis (17 Febbraio 2017): File
      Il foglio 13bis dovrebbe essere di piu' agevole lettura essendo omesse le dimostrazioni piu' tecniche e avendo messo in risalto gli argomenti anche cambiandone  l'ordine.

    • [FS] integrali doppi su domini normali pagg. 201-214, integrali tripli su domini normali pagg. 234-236;

      [B] integrali doppi pagg. 461-477, (determinante 479), integrali tripli  pagg. 487- 492, esercizi (anche per combaimento di variabili  e integrali di superficie) 495-513;

      [F]  integrali doppi e tripli su domini normali (371) 380-382, 386-390, 408-411, integrali in piu' variabili e funzioni continue pagg. 428-430, 438-442, un approccio diverso alla  teoria di Lebesgue pagg. (450) 464-467, 468, 471, 474,  475-478,, 481-489, 490-493, 495, 496, `497, 501, 502-506, 508-514.

    • COMPLETEZZA LIMITI DI INTEGRALI E CONVERGENZA UNIFORME File

      Compendio alla teoria nel Foglio di Esercizi n. 9.

    • Cambi di variabile negli integrali, integrali su superificie, sommabilita' File

      In allegato solo esercizi del foglio 11. Per la teoria cfr. registro lezioni e:

      [FS] cambiamenti di variabile pagg. 224-233,  237-241, integrali su superficie pagg. 252-259;

      [B] pagg. 262-264, 477-486, 492-508, 529, 536-540, 540-542, 557-560;

      [F] pagg. 400-408,  411-414, 440-442, 444-448, 515-530, 557-560, 565-573, 579-581.


    • Integrali non orientati su superficie nello spazio File

      Sono specificate le pagine attinenti, nei testi di riferimento, tra quelle gia' elencate.

      Alcuni complementi si trovano nel foglio di esercizi n. 11 al paragrafo dedicato.

      [FS] pagg. 252-259, 224-226; 

      [B] pagg. 485-486, 536-540, 557-560;

      [F] pagg.565-573, 579-581.

    • Foglio di teoria n.14 File

      Campi conservativi, integrabili  o esatti, chiusi o irrotazionali, invarianza per omotopia, domini stellati e semplicemente connessi. Campo solenoidale e campo gravitazionale.

      NOTA: in [F] e [FS]   la notazione delle forme differenziali (\( a(x,y)dx + b(x,y) dy; ~ a(x,y,z) dx + b(x,y,z) dy+ c(x,y,z)dz; ~a_1(x) dx_1 + \dots a_n(x) dx_n \) corrisponde ai campi di vettori \( (a(x,y), b(x,y));~ (a(x,y,z), b(x,y,z);~ c(x,y,z)); \) \( ~ (a_1(x_1, \dots , x_N), \dots , a_N(x_1,\dots , x_n )) \)

      [FS] pagg. 177- 190, 192-200;

      [B]  pagg. 522-529, 551-555, 564-565;

      [F] pagg.350-369.

    • Foglio di teoria n.15 (aggiornato l'8 Gennaio 2017). File

      Integrazione orientata di campi su superficie, potenziali vettoriali, flussi, notazione delle forme differenziali teoremi di Stokes e della divergenza

      Sono specificate le pagine attinenti, nei testi di riferimento.

      Alcuni complementi si trovano nel foglio di esercizi n. 13.

      [FS] pagg. 259-265;

      [B] pagg.529-570;

      [F] pagg. 39-401, 573-579, 581-590.

  • Siti dell'insegnamento Analisi 2 per i corsi di laurea di Ignegneria Civile Ambientale Edile per l gli A.A. 2014-2015/2015-2016

    I seguenti collegamenti permettono di accedere direttamente ai siti dell'insegnamento affine dei due precedenti anni accademici.

    Tra l'altro vi si trovano i testi di esame,  prove in itinere e di ingresso, con risoluzione dei quesiti.

  • Libri di Analisi

  • Argomento 7

    • Argomento 39

      • Argomento 41