Weekly outline

  • CALENDARI e MODALITA' D'ESAME; INTRODUZIONE

    AVVISO CAMBIAMENTO DATA ORALI

    L'orale del 6 luglio e' stato spostato il 7 luglio alle ore 10 causa concomitanza altri esami.

    VMT



    Si ricorda che gli ammessi all'orale mediante scritto in questo AA, possono sostenere l'orale in un qualsiasi appello di questo AA.

    F.Acquistapace


    CALENDARIO ESAMI SESSIONE INVERNALE


    3 appello orali: dopo il 22 febbraio continueranno mercoledi 24 febbraio dalle ore 10 nell'aula virtuale di Algebra lineare (se  l'audio comincera'  a dare problemi ci si spostera' in un altra aula virtuale).

    1 appello: scritto  12 gennaio 2021 ore 9,  inizio  orali 18 gennaio 2021 ore 9:

    https://meet.google.com/lookup/gwha6arg6t

    e' l'usuale link dinamico per le lezioni in google.

    2 appello: scritto  28 gennaio 2021 ore 9,  inizio  orali 1  febbraio  2021 ore 9. 

    3 appello: scritto  18 febbraio 2021 ore 9,  inizio  orali  22  febbraio  2021 ore 9. 

    MODALITA' ESAMI

    I testi delle prove scritte verranno sia inviati tramite posta elettronica del sito https://esami.unipi.it/, come allegati  PDF agli avvisi,  sia pubblicati su questo sito elearnning , subito dopo l'introduzione.  

    - I vostri elaborati dovranno essere riconsegnati mediante posta elettronica alla professoressa Acquistapace entro quattro ore dall'inizio della prova stessa (di norma alle 9 del mattino quindi il termine di consegna sarebbe nel caso fissato alle ore 13), con un'unico invio, all'indirizzo:

    francesca.acquistapace@unipi.it

    e' inoltre necessario che nell'elaborato vi siano i vostri dati:

     nome, cognome e numero di matricola.

    - La valutazione dello scritto sara' semplicemente ammesso o non ammesso (alla prova orale).

    Gli orali si terranno nell'aula virtuale ove di solito si fanno le lezioni e ci si collega dinamicamente con 

    https://meet.google.com/lookup/gwha6arg6t

    F.Acquistapace e V.M.Tortorelli


    INTRODUZIONE

    La titolare dell'insegnamento e' la professoressa Francesca Acquistapace, con cui il responsabile di questa pagina, Vincenzo Maria Tortorelli (VMT), collabora. 

    Un'altra collaboratrice sara' la professoressa Giulia Fidanza che curera' ricevimenti di tutorato ed ulteriori esercitazioni.

    Nel presente sito si troveranno nell'ordine:

    testi deglle prove scritte

    collegamento alla pagina della professoressa,

    collegamento al registro delle lezioni,

    programma preliminare

    orario delle lezioni, link all'aula virtuale,

    orario dei ricevimenti ed eventuale tutorato con indirizzi di posta elettronica,

    indicazioni per ricevere avvisi iscrivendosi alla mailing list del sito,

    note per il ripasso di prerequisiti,

    raccolte di esercizi e in progressione settimanale  materiale per gli esercizi.

    VMT

    • Raccolta di testi di esame degli ultimi anni.

    • Vi si possono trovare gli argomenti effettivamente svolti, lezione per lezione.

    • Programma preliminare nel portale esami: https://esami.unipi.it/programma.php?c=46036&aa=2020&docente=ACQUISTAPACE&insegnamento=&sd=0

      Il programma di esame effettivo risultera' dagli argomenti svolti a lezione, reperibili nel registro ufficiale delle lezioni, accessibile mediante il collegamento precedente.

    • Collegamento dinamico.

    • Collegamento da effettuare, dopo il primo accesso (iscrizione) tramite il portale degli esami, per accedere al  collegamento ``dinamico'' all'aula virtuale.

      VMT

    • Una breve dispensa per ripassare i principali prerequisiti

    • A collection of exercises in English, made by A.Berarducci and O.Papini.

    • Esercizi di base per allenamento con risoluzioni.

      Nota: si ringrazia la professoressa Carrara, contattata senza succeso all'indirizzo e-mail dell'Universita' di Trento,  per aver messo a disposizone il materiale in oggetto.

      VMT

  • 28 settembre - 3 ottobre I settimana

    • Annotazioni,  in file pdf,  per le soluzioni alle prime sette domande del primo foglio di esercizi.

      VMT

    • Raccolta di  diciannove domande di introduzione e tre esercizi formato esame (forse piu' impegnativi di quelli degli esami). Gli argomenti sono quelli che si svolgeranno nelle prime due settimane di corso: geometria analitica lineare nel piano e nello spazio, rette e piani in forma cartesiana e in forma parametrica e loro posizioni reciproche,  prodotto scalare, collegamento con i sistemi lineari.

    • Altro esercizio formato esame in tema con i tre del primo foglio.

      VMT

  • 5 ottobre - 10 ottobre II set.

    • Le prime pagine sono una riscrittura ordinata  delle osservazioni generali fatte la scorsa esercitazione su:  immagini e preimmagini di funzioni,  rispettivamente forma parametrica ed equazioni di rette e piani, lunghezza di un vettore e distanza tra punti, equazionie di primo grado di un piano come condizione di ortogonalita'. In particolare si nota che 

      risolvere un sistema vuol dire mettere in forma parametrica l'insieme delle sue soluzioni

      cioe' vederlo come immagine di una funzione.

      Questi appunti verranno completati nella settimana dal 7 al 10 ottobre, con i commenti che faremo risolvendo altri esercizi del primo foglio.


      VMT


  • 12 ottobre - 17 ottobre III set.

    • Esercizi su sistemi lineari e geometria negli spazi cartesiani, metodo di Gauss.

      Soluzioni particolari di sistemi lineari (con termine noto). Prodotto righe per colonne come combinazione lineare delle colonne della matrice assoociata ad un sistema lineare con coefficienti le variabili incognite. Linearita' della trasformazione associata alla matrice.

    • Esercizi su: proiezioni ortogonali, prodotto scalare e rudimenti di geometria analitica lineare in spazi cartesiani di dimensione qualsiasi, metodo di riduzione a scala di matrici e suo uso per determinare i tipi di risolubilita' di sistemi lineari e quindi per risponderer a domande di tipo geometrico.

  • 19 ottobre - 24 ottobre IV set.

    • Esempi di spazi vettoriali, sottospazi generati e dipendenza lineare.
    • Nelle note si sono anticipate, rispetto all'esposizione, le proprieta', con dimostrazione,  della trasposta della somma e della doppia trasposizione.

      Esercizi sugli spazi vettoriali, basi e dimensione: struttura vettoriale sullo spazio delle funzioni reali di variabile reale, sulle matrici, funzioni pari e dispari,  matrici simemtriche e antisimmetriche.

      SI sono ripassate: notazioni sulle matrici ed operazioni di spazio vettoriale sulle matrcici.

      Si sono introdotte: nozione di matrice trasposta e prime proprieta', nozione di somma diretta di due sottospazi ed  unicita' della decomposizione.

      VMT

    • La videoregistrazione e' completa senza l'interruzione.

      VMT

  • 26 ottobre - 31 ottobre V set.

  • 2 novembre - 7 novembre VI set.

  • 9 novembre - 14 novembre VII set.

    • Principalmente esercizi sulle funzioni lineari, sulle matrici ad esse associate, e  al prodotto di matrici.

    • Dimostrazione del fatto che due sottospazi,  supplementari di uno stesso sottospazio, hanno la stessa dimensione. Domande del quarto foglio: 1 con calcolo dell'inversa, 4,  6. 

      Esercizio per casa: calcolare l'nversa e dare un'interpretazione geometrica delle matrici 3x3

       con righe  rispettivamente:

       (a, -b, 0) ( b,a,0) (0,0,1)  e (1,0,0) (0,a,b) (0,b,-a)

      VMT

    • Tali esercizi, preparati dai tre docenti, servono a rendervi conto: 

      1) di quello che noi ci aspettiamo che voi abbiate capito a questo punto del corso. 

      2) quello che ciascuno di voi ha capito. 

      NOTA1: Il tempo di svolgimento orientitativamente  dovrebbe essere di tre ore per tre esercizi.

      NOTA2: conviene quindi svolgere questi esercizi in due sessioni: selezionando  tre o quattro esercizi alla volta.

      NOTA3: e' consigliato per ogni sessione scegliere almeno un esercizio tra 1, 2, 3 e 5 e un esercizio tra 4, 6  e 7 (questi ultmi piu' teorici).

      Se volete che il vostro svolgimento sia corretto, scannerizzatelo e mandatelo a Francesca come file pdf all'indirizzo: francesca.acquistapace@unipi.it 

      Lei lo correggera'  e vi  spedira` indietro la correzione. 

       Dopo una settimana metteremo in rete la soluzione.

      VMT

  • 16 novembre - 21 novembre, VIII sett.


  • 23 novembre - 28 novembre, IX sett.


  • 30 novembre - 5 dicembre, X sett.

    • Esercizi su funzioni lineari,  matrici, proiezioni e  cambiamenti di base: sia  svolti a lezione ed esercitazione,  ma  che non compaiono nel quarto foglio, sia alcuni nuovi. 

    • Determinante 1, e polinomi che annullano endomorfismi.

    • Esercizi su: 

      1) applicazioni lineari e matrici associate (domande 16b, 17bis, 20  del quarto foglio di esercizi), 

      2) algebra delle matrici (domanda 18 quarto foglio, domanda 8 quarto foglio bis), 

      3) somme dirette, proiezioni e proiezioni ortogonali (domanda 9 quarto foglio bis, domanda 19 quarto foglio: cfr. esercizio 2 quarto foglio e domanda 5 del quarto foglio bis, svolti  il 18 novembre),

      4) determinante e sviluppo di Laplace (domanda 2ac del quinto foglio: determinante di matrici ``triangolari superiori a blocchi'').

      Esercizio lasciato per casa: provare ad affrontare la domanda 4 del quinto foglio (determinante di Vandermonde)

      VMT

    • Domanda 20 quarto foglio,  domanda 8 quarto foglio bis, domanda 2ac quinto foglio. VMT

    • Determinante 2, determinante e derivate,  e diagonalizzazione.

    •  Approccio teorico  diverso da quelli nei libri consigliati e delle lezioni.

    • Similitudine e diagonalizzazione: lezione persa il 3 dicembre per difetto audio, e ripetuta il 9 dicembre. VMT

  • 7 dicembre - 12 dicembre, XI sett.

    • Un esercizio per completare il quadro relativo alla regola di Cramer e alle propriet\`a della matrice aggiunta (cfr. domanda 3 del quinto foglio di esercizi). VMT

    • Similitudine e diagonalizzazione: lezione persa il 3 dicembre per difetto audio, e ripetuta il 9 dicembre. VMT

    • Esercizi su: 

      1)  similitudine e matrici associate ad endomorfismi lineari: caratterizzazione delle matrici quadrate che commutano, per il prodotto tra matrici, con tutte le altre matrici quadrate.  (domanda 7 quarto foglio  bis e domanda 5 quinto foglio).

      2) Invertibilita' di trasposta(A) A,  se A ha rango massimo e ha piu' righe che colonne.  Pseudo inversa di Moore-Penrose per matrici di rango massimo con meno colonne che righe. 

       Nel caso:  matrice della proiezione ortogonale  sul sottospazio generato dalle colonne di A. (domanda 6 quarto foglio bis).

      3)  Regola di Cramer. Matrice aggiunta e sue proprieta'.  Formula per i coefficienti dell'inversa di una matrice con determinante non nullo. (domanda 3 quinto foglio e domanda 1 quinto foglio bis).

      Esercizio lasciato per casa: provare ad affrontare la domanda 4 del quinto foglio (determinante di Vandermonde)

      VMT

    • Tali esercizi, preparati dai tre docenti, servono a rendervi conto: 

      1) di quello che noi ci aspettiamo che voi abbiate capito a questo punto del corso. 

      2) quello che ciascuno di voi ha capito. 

      NOTA1: Il tempo di svolgimento orientitativamente  dovrebbe essere di tre ore per tre esercizi.

      NOTA2: conviene quindi svolgere questi esercizi in quattro o cinque  sessioni: selezionando   quattro o tre esercizi alla volta.

      Si raccomanda:

      per ogni sessione di scegliere un paio di  esercizi  tra i primi otto (richiaami su cambiamenti di basi, ortogonalita' e determinante)   e un paio tra gli ultimi otto (principalmente sui criteri di diagonalizzabilita' di matrici e di endomorfismi) .

      Nota 3:  a nostro parerere gli esercizi di difficolta' superiore a quella necessaria per una buona valutazioni sono  8c e 16 e sono ``impallinati''. 

      Esercizi invece abbastanza immediati sono: 1a,  3,  7a, 8a, 11ab, 14, 15.

      Esercizi diretti ma che richiedono un minimo di calcolo o teoria: 2, 7b, 8, 11c.

      6,Se volete che il vostro svolgimento sia corretto, scannerizzatelo e mandatelo a Francesca come file pdf all'indirizzo: francesca.acquistapace@unipi.it 

      Lei lo correggera'  e vi  spedira` indietro la correzione. 

       Dopo una settimana metteremo in rete la soluzione.

      VMT

    • Criteri di diagonalizzabilita' e di triangolabilta'.

  • 14 dicembre - 19 dicembre, XII sett.

    • Brevi dispense della professoressa Francesca Acquistapace per presentare il teorema spettrale di diagonalizzazione di matrici simmetriche mediante matrici ortogonali.

      VMT

    • Due altri esercizi su diagonalizzabilita' e triangolarizzabilita', e due esercizi su endomorfismi ortogonali e simmetrici.

    • Teorema spettrale. Diagonalizzabilita' delle matrici ortogonali. Radici del polinomio minimo. Similitudine reale e complesssa.

    • Esercizi su: 

      1)  determinante di Vandermonde (domanda 4 V foglio), significato geometrico del determinante di matrici 2x2 (domanda 8 V foglio).

      2) diagonalizzabilita' di matrici che annullano un polinomio fattorizzabile  (domanda 5 V foglio)

      3) derivata di una matrice di funzioni, derivata del prodotto di matrici,  dell'inversa di una matrice di funzioni e controesempio delle matrici di riflessione rispetto ad una retta che ruota attorno all'origine  nel piano  (esercizio 2  VI foglio).

      4) determinante visto come prodotto:  derivata del determinante  di M= somma dei determinanti delle matrici ottenute sostituendo una colonna con la sua derivata= tr(M' adjM) (esercizio 1 b VI foglio).  Sviluppo del determinante al primo ordine (esercizio 1c  VI foglio).

      Compito per casa: 

      1) trovare una M,  matrice 2x2 di funzioni, per cui (MM)'  sia diverso da 2MM' e d a 2M'M (cfr. esercizio 2a VI foglio) 

      2) Esercizio 3 Vi foglio: M(t)  matrice di rotazione attorno ad un asse fisso, commutativita' di M' con traspM,  relazione con il vettore di velocita' angolare.

      VMT

  • 18 dicembre - 7 gennaio 2021

    SECONDO COMPITO DI AUTOVALUTAZIONE DEL 7/12/20:  NUOVA VERSIONE E SOLUZIONI


    • Nuova versione del 4 gennaio: l'esercizio 3 e' stato sdoppiato, gli esercizi successivi  hanno numerazione aumentata di uno rispetto alla prima versione. In particolare l'esercizio 8 diventa 9.

      Si e' modificta anche la versione originale ove la formulazione della domanda 8b, se pur corretta,  poteva indurre in errore: SECONDO COMPITO DI AUTOVALUTAZIONE 7/12/20  prima versione corretta.

      VMT

    • Sono presenti  le soluzioni  di quasi tutti gli esercizi proposti. Tra le mancanti quelle dell'esercizio 8/9 sara' nei files qui di seguito.

    • Soluzione proposta come suggerimento nella prima versione del compito.