C. d. L. in Ing. Meccanica e Ing. Nucleare Compito scritto di Meccanica Razionale

27/01/2010

Cognome Nome Matricola Corso di Laurea

1. Sono dati la curva γ di equazioni parametriche (rispetto a una terna T ≡ (O, x, y, z) di versori î, ĵ, k̂)

\begin{cases}x = ae^{θ} sin(θ) \\ y = ae^{θ} \\ z = −ae^{θ} cos(θ) \end{cases} (θ ∈ ℝ, a > 0) e un punto materiale P di massa m vincolato a muoversi (senza

attrito) su γ. È presente la gravità, diretta come l’asse z e orientata nel verso negativo.

a) Determinare la parametrizzazione di γ in funzione dell’ascissa curvilinea s di P, prendendo come origine Ω ≡ (0, a, −a) su γ. (1.5 punti)

b) Determinare le componenti del triedro principale t̂, n̂, b̂ rispetto ai versori di T e il raggio di curvatura di γ in un suo punto generico. (3 punti)

c) Scrivere l’espressione dell’energia potenziale di P; calcolarne le eventuali posizioni di equilibrio, determinando se sono stabili o no. (2 punti)

d) Scrivere l’equazione del moto di P usando l’equazione di Lagrange e ricavare il periodo delle piccole oscillazioni intorno a tutte le posizioni di equilibrio stabile. (3.5 punti)

e) Scrivere le equazioni del moto per P lungo le direzioni del triedro principale e ricavare da esse le

componenti della reazione vincolare dinamica supponendo di conoscere s(t). (2 punti) 2.

Un disco omogeneo di raggio r, massa m, ha il proprio centro O incernierato a una cerniera fissa e presenta una scanalatura lungo un diametro entro la quale può scorrere senza attrito una sbarra AB di lunghezza 4r e massa m. È presente la gravità. L’estremo A della sbarra è vincolato a una cerniera mobile vincolata a sua volta a muoversi lungo una guida orizzontale fissa posta al di sopra del disco. Quando la sbarra è verticale, O coincide geometricamente col punto medio della sbarra. Tutti i vincoli sono privi di attrito.

a) Dopo aver scelto un opportuno sistema di riferimento “fisso” e un’opportuna coordinata lagrangiana θ per descrivere la configurazione del sistema, ricavare la posizione e la velocità di A in funzione di θ e θ̇, e di un qualunque punto P della sbarra in funzione di \overline{AP}, θ e θ̇. (2 punti)

b) Mostrare che per ogni θ compreso in un opportuno intervallo esiste è ed unico un punto Q della sbarra tale che v_{Q} è parallelo ad AB; determinare gli estremi di tale intervallo e calcolare il vettore OQ. (2 punti)

c) Calcolare la velocità v^{(r)} di strisciamento dei punti della sbarra a contatto con il disco in funzione di θ e delle sue derivate. (1.5 punti)

d) Ricavare la posizione del centro istantaneo di rotazione e le equazioni parametriche e cartesiane della polare fissa e della polare mobile. (4 punti)

e) Calcolare la posizione del baricentro del sistema in funzione di θ e il momento angolare del sistema

rispetto a O in funzione di θ e delle sue derivate. (2.5 punti) 3.

Una lamina quadrata omogenea OABC di lato l e massa m è incernierata nei suoi punti O e C in modo da poter ruotare (senza poter traslare) intorno all’asse orizzontale x. È presente la gravità g, diretta come l’asse z e orientata nel verso

negativo. Una molla di costante elastica k = \frac{m|g|}{4l} e di lunghezza a riposo nulla ha un suo estremo bloccato nel punto D ≡ (l, l, l), l’altro estremo è attaccato al punto B.

a) Dopo aver scelto un’opportuna coordinata lagrangiana, determinare gli spostamenti virtuali dei punti di applicazione delle forze attive esterne e i

O C  B  A D z  y x g

lavori virtuali di tali forze. Calcolare infine le posizioni di equilibrio della lamina utilizzando il principio dei lavori virtuali. (3.5 punti)

b) Scrivere le equazioni cardinali della statica, e ricavare le reazioni vincolari in O e C nelle posizioni di equilibrio trovate al punto a). (Ipotizziamo che le coppie rotoidali non esercitino forze dirette lungo il proprio asse di rotazione) (3 punti)

c) Scrivere l’energia meccanica della lamina, e ricavare l’equazione del moto usando un opportuno principio di conservazione. (1.5 punti)

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