PROGRAMMA

Modulo ANALISI MATEMATICA II. 

0.  Funzioni.

0.1 Immagini e forma parametrica, preimmagini e luoghi di zeri, grafici e sottografici. 

0.2 Coordintae polari, cilindriche e sferiche nello spazio.

0.3 Definizione di sottoinsieme convesso e funzione convessa: prime proprieta'.

1. Prodotti scalari, norme e distanze. Topologia in spazi metrici ed  in R^n.

1.1 Spazi metrici.  Prodotti scalari e disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Distanza euclidea. Norme per operatori lineari. Disuguaglianza triangolare. L’insieme dei punti con coordinate razionali è denso. Convergenza di successioni e di funzioni di una variabile. Cammini e curve. 

1.2 Insiemi aperti e insiemi chiusi. Insiemi aperti. Unione e intersezione di insiemi aperti. Prodotto di insiemi aperti. Unione e intersezione di insiemi chiusi. Prodotto di insiemi chiusi. Insiemi chiusi per successioni. Chiusura, parte interna e frontiera di un insieme.

1.3 Spazi compatti e completi. Ricoprimenti - ricoprimenti aperti, finiti e numerabili.   Insiemi compatti - definizione con i ricoprimenti. Insiemi compatti per successioni. Insiemi chiusi e limitati. Teorema di equivalenza. Successioni di Cauchy e completezza: il teorema di punto fisso delle contrazioni.

1.4 Funzioni continue. Topologia indotta. Funzioni continue tra spazi metrici. Funzioni continue e funzioni continue per successioni. Composizione di funzioni continue. Funzioni continue su insiemi compatti. Teorema di Weierstrass. Funzioni convesse e continuita'. Uniforme continuita' ed uniforme convergenza. Convergenza puntuale.

1.5 Insiemi connessi. Insiemi connessi e insiemi connessi per archi. Un insieme aperto di R^n è connesso se e solo se è connesso per archi. Insiemi connessi in dimensione uno. Funzioni continue e insiemi connessi.

1.6 Riparametrizzazioni di cammini. Orientazione. Cammini regolari e grafici locali. Lunghezza di cammini. Parametro di lunghezza d'arco, piano osculatore e curvatura. Integrazione di funzioni non orientata su cammini. Integrazione orientata di campi su cammini. Il campo solenoidale piano e le coordinate polari.

2. Derivate parziali e direzionali.

2.1 Derivabilità e differenziabilità di funzioni tra spazi euclidei. Funzioni derivabili, funzioni differenziabili. Piani tangenti a grafici, luoghi di zeri, e immagini. Le funzioni differenziabili sono continue. Le funzioni differenziabili sono derivabili. Esempio di una funzione derivabile, ma non continua in zero. Esempio di una funzione derivabile e continua, ma non differenziabile in zero. Funzioni C^1 e C^2. Teorema del differenziale totale, funzione differenziale. Derivate parziali di ordine superiore - teoremi di Schwartz. Composizione di funzioni differenziabili. Regola della catena e formula per le derivate parziali della funzione composta. Matrice Hessiana. Diseguaglianza del valor medio. Funzioni convesse e differenziabilita'. Differenziabilita' dell'inversa. Cambi di coordinate non lineari.

2.2 Teoremi di invertibilita' locale, delle funzioni implicite e del rango. Teorema di invertibilita' locale. Teorema delle funzioni implicite (dimostrazione per funzioni di due variabili a valori reali). Teorema del rango. Sottovarieta' e sottovarieta' con bordo, e loro caratterizzazioni. Piani tangenti, vettori tangenti esterni. Superficie parametrica. Sottovarieta' regolari a pezzi e domini normali. Superficie di rotazione, di cono. Orientabilita' di superficie e di sottovarieta', orientazione indotta sul bordo. Il nastro di Moebius. Gradiente tangenziale.

2.3 Formula di Taylor. 

2.4 Ottimizzazione. Massimi e minimi locali interni. Condizione necessaria al primo ordine. Punti critici. Condizione necessaria al secondo ordine. Matrici semidefinite positive e matrici semidefinite negative. Condizione sufficiente al secondo ordine. Matrici definite positive e matrici definite negative. Il ruolo del determinante della matrice Hessiana in dimensione due. Massimi e minimi locali sul bordo di un insieme regolare. Condizioni necessarie e sufficienti al primo e al secondo ordine in dimensione due. Vettore normale e vettore tangente al bordo di un insieme regolare. Ottimizzazione vincolata e teorema dei moltiplicatori di Lagrange.  Moltiplicatori e funzioni positivamente omeogenee, moltiplicatori e forme quadratiche. Proprieta' di minimizzazione degli autovalori di una matrice simmetrica. Cenno all'ottimizzazione per funzioni convesse su convessi.  

3. Equazioni differenziali ordinarie.

3.1 Convergenza uniforme. Convergenza uniforme di una successioni di funzioni continue definite su un compatto - definizione, continuità della funzione limite, successioni di Cauchy. Interpretazione geometrica della differenziabilità di una funzione di più varibili.

3.2 Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine. Metodi variazionali - principio di minima azione, equazioni di Eulero-Lagrange. Equazioni lineari a coefficienti costanti - richiami ed esempi. Risonanza.

3.3 Equazioni differenziali ordinarie. Teoremi di esistenza e unicità della soluzione. Teorema di Cauchy. Lemma di Gronwall. Teoremi di confronto. Intervallo massimo di esistenza. Criterio di esistenza globale di una soluzione. Funzione di Lyapounov. Studi qualitativi in dimensione uno e due.

3.4 Equazioni differenziali parziali. Equazione delle onde. Equazione di Laplace. Equazione del calore.

4. Forme differenziali e integrali curvilinei.

4.1 Forme differenziali in R^n. 1-forme, 2-forme e k-forme in R^n - definizioni. Somma di forme differenziali. Prodotto di una forma differenziale con una funzione. Prodotto esterno tra forme differenziali. Differenziale di una funzione. Derivata esterna di una forma differenziale. Forme chiuse e forme esatte. Le forme esatte sono chiuse. Esempio di una forma chiusa ma non esatta.

4.2 Integrazione di 1-forme. Curve in R^n. Curve C^1 a tratti, curve chiuse, curve semplici. Curve equivalenti. L'opposta di una curva. Concatenamento di curve. Integrale di una 1-forma su una curva C^1 a tratti. Integrazione su curve opposte. Integrazione su curve concatenate. Integrazione su curve equivalenti. Integrazione di forme esatte su curve chiuse. Caratterizzazione delle 1-forme esatte attraverso l'integrazione su curve chiuse. In un rettangolo le forme chiuse sono esatte. In un aperto stellato le forme esatte sono chiuse. Teorema della derivazione sotto il segno dell'integrale. Domini diffeomorfi. In R^3 il toro e la palla non sono diffeomorfi.

4.3 Integrazione di funzioni su curve. Integrale di una funzione continua su una curva. Integrazione su curve equivalenti. Integrazione su curve opposte. Integrazione su curve concatenate. Approssimazione dell'integrale su una curva con delle somme parziali. Lunghezza di una curva.

5. Integrazione in R^n.

5.1 Integrale di Riemann.  Integrazione di Riemann su un dominio rettangolare. Partizioni di un dominio rettangolare. Somme di Riemann superiori e inferiori. Integrale di Riemann superiore e inferiore. Integrabilità di una funzione limitata si un rettangolo. Integrabilità delle funzioni continue su domini rettangolari. Teorema di Fubini su domini rettangolari. Integrale di una funzione su un insieme limitato. Integrabilità di una funzione continua su un dominio normale. Teorema di Fubini in domini normali.

5.2 Integrazione per parti e teorema della divergenza. Formlule di Gauss-Green in domini normali. Teorema della divergenza su domini normali in dimensione due. Partizione dell'unità in domini regolari. Teorema della divergenza su domini regolari in dimensione due. Applicazione del teorema della diveregenza - Laplaciano, equazione del calore, variazione della temperatura totale e flusso di calore attraverso il bordo di un insieme regolare.

5.3 Formula di Stokes. Teorema di Stokes su domini normali in dimensione due. Orientazione in dimensione due. Curve che parametrizzano il bordo di un insieme in senso antiorario. Formula di Stokes su domini regolari in dimensione due. Le formule di Gauss-Green come conseguenza della fromula di Stokes. Diffeomorfismi e orientazione in domini bidimensionali. Cambio delle variabili in dimensione due. Integrazione in coordinate polari nel piano. Integrale della funzione Gaussiana.

5.4 Integrazione su superfici parametriche. Superfici parametriche in dimensione due. Superfici parametriche equivalmenti. Integrale di una 2-forma su una superficie parametrica in dimensione due. Integrazione su superfici parametriche equivalenti. Formula di Stokes per le superfici. Prodotto vettoriale in dimensione tre. Divergenza e rotore di un campo in dimensione tre. Versore normale a una superficie. Versore normale su superfici equivalenti. Integrazione di funzioni su superfici. Teorema del rotore. Applicazione della formula di Stokes - Legge di Faraday e la terza equazione di Maxwell.