PRIMA LEZIONE
Indice degli argomenti
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- La prima parte del corso sara' a cura di Vincenzo Maria Tortorelli. Queste lezioni ed esercitazioni saranno se possibile in streaming e saranno disponibili le videoregistrazione tramite collegamento presente in questo sito. Esse si svolgeranno sul sito googleclassroom del corso
https://classroom.google.com/c/
Codice corso wb27m6sil collegamento dinamico all'aula virtuale meet e' presente nel sito sopra menzionato.- La seconda parte del corso sara' a cura di Bozhidar Velchkov, e in seguito saranno specificate le modalita' di lezione ed esercitazione.
VMT
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Modulo ANALISI MATEMATICA II: prerequisiti.
Nozioni di base dell'analisi di funzioni di una variabile (Analisi 1) e di Algebra Lineare . In particolare, è indispensabile conoscere le nozioni seguenti:
- successioni e limiti di successioni, teorema di Bolzano-Weierstrass (con dimostrazione);
- funzioni continue e limiti di funzioni di una variabile; teorema di Cantor (con le dimostrazioni);
- derivate di funzioni di una variabile; teoremi di Rolle e di Lagrange; teorema di Weierstrass (con le dimostrazioni);
- integrale di Riemann - somme superiori e inferiori di Riemann; definizione di funzione integrabile secondo Riemann (tutta la costruzione con le dimostrazioni); la dimostrazione del teorema sull'integrabilità delle funzioni continue; la dimostrazione del teorema sull'integrabilità delle funzioni monotone; teorema fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione); teorema della media (con dimostrazione).
- forma parametrica e cartesiana di sottospazi affini, prodotto scalare e sua interpretazione geometrica, metodo di riduzione di Gauss e sue proprieta'.
- dipendenza lineare, basi, formule di Grassmann e della dimensione, rango di matrici e di trasformazioni lineari, matrici associate ad una trasformazione lineare, congruenza e similitudine.
- determinante, polinomio caratteristico, polinomio minimo, criteri di diagonalizzazione e triangolarizzazione.
- trasformazioni lineari ortogonali, loro classificazione ed interpretazione geometrica nel caso del piano e dello spazio cartesiani, matrici simmetriche e teorema spettrale.
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Modulo ANALISI MATEMATICA II.
0. Funzioni.
0.1 Immagini e forma parametrica, preimmagini e luoghi di zeri, grafici e sottografici.
0.2 Coordintae polari, cilindriche e sferiche nello spazio.
0.3 Definizione di sottoinsieme convesso e funzione convessa: prime proprieta'.
1. Prodotti scalari, norme e distanze. Topologia in spazi metrici ed in R^n.
1.1 Spazi metrici. Prodotti scalari e disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Distanza euclidea. Norme per operatori lineari. Disuguaglianza triangolare. L’insieme dei punti con coordinate razionali è denso. Convergenza di successioni e di funzioni di una variabile. Cammini e curve.
1.2 Insiemi aperti e insiemi chiusi. Insiemi aperti. Unione e intersezione di insiemi aperti. Prodotto di insiemi aperti. Unione e intersezione di insiemi chiusi. Prodotto di insiemi chiusi. Insiemi chiusi per successioni. Chiusura, parte interna e frontiera di un insieme.
1.3 Spazi compatti e completi. Ricoprimenti - ricoprimenti aperti, finiti e numerabili. Insiemi compatti - definizione con i ricoprimenti. Insiemi compatti per successioni. Insiemi chiusi e limitati. Teorema di equivalenza. Successioni di Cauchy e completezza: il teorema di punto fisso delle contrazioni.
1.4 Funzioni continue. Topologia indotta. Funzioni continue tra spazi metrici. Funzioni continue e funzioni continue per successioni. Composizione di funzioni continue. Funzioni continue su insiemi compatti. Teorema di Weierstrass. Funzioni convesse e continuita'. Uniforme continuita' ed uniforme convergenza. Convergenza puntuale.
1.5 Insiemi connessi. Insiemi connessi e insiemi connessi per archi. Un insieme aperto di R^n è connesso se e solo se è connesso per archi. Insiemi connessi in dimensione uno. Funzioni continue e insiemi connessi.
1.6 Riparametrizzazioni di cammini. Orientazione. Cammini regolari e grafici locali. Lunghezza di cammini. Parametro di lunghezza d'arco, piano osculatore e curvatura. Integrazione di funzioni non orientata su cammini. Integrazione orientata di campi su cammini. Il campo solenoidale piano e le coordinate polari.
2. Derivate parziali e direzionali.
2.1 Derivabilità e differenziabilità di funzioni tra spazi euclidei. Funzioni derivabili, funzioni differenziabili. Piani tangenti a grafici, luoghi di zeri, e immagini. Le funzioni differenziabili sono continue. Le funzioni differenziabili sono derivabili. Esempio di una funzione derivabile, ma non continua in zero. Esempio di una funzione derivabile e continua, ma non differenziabile in zero. Funzioni C^1 e C^2. Teorema del differenziale totale, funzione differenziale. Derivate parziali di ordine superiore - teoremi di Schwartz. Composizione di funzioni differenziabili. Regola della catena e formula per le derivate parziali della funzione composta. Matrice Hessiana. Diseguaglianza del valor medio. Funzioni convesse e differenziabilita'. Differenziabilita' dell'inversa. Cambi di coordinate non lineari.
2.2 Teoremi di invertibilita' locale, delle funzioni implicite e del rango. Teorema di invertibilita' locale. Teorema delle funzioni implicite (dimostrazione per funzioni di due variabili a valori reali). Teorema del rango. Sottovarieta' e sottovarieta' con bordo, e loro caratterizzazioni. Piani tangenti, vettori tangenti esterni. Superficie parametrica. Sottovarieta' regolari a pezzi e domini normali. Superficie di rotazione, di cono. Orientabilita' di superficie e di sottovarieta', orientazione indotta sul bordo. Il nastro di Moebius. Gradiente tangenziale.
2.3 Formula di Taylor.
2.4 Ottimizzazione. Massimi e minimi locali interni. Condizione necessaria al primo ordine. Punti critici. Condizione necessaria al secondo ordine. Matrici semidefinite positive e matrici semidefinite negative. Condizione sufficiente al secondo ordine. Matrici definite positive e matrici definite negative. Il ruolo del determinante della matrice Hessiana in dimensione due. Massimi e minimi locali sul bordo di un insieme regolare. Condizioni necessarie e sufficienti al primo e al secondo ordine in dimensione due. Vettore normale e vettore tangente al bordo di un insieme regolare. Ottimizzazione vincolata e teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Moltiplicatori e funzioni positivamente omeogenee, moltiplicatori e forme quadratiche. Proprieta' di minimizzazione degli autovalori di una matrice simmetrica. Cenno all'ottimizzazione per funzioni convesse su convessi.
3. Equazioni differenziali ordinarie.
3.1 Convergenza uniforme. Convergenza uniforme di una successioni di funzioni continue definite su un compatto - definizione, continuità della funzione limite, successioni di Cauchy. Interpretazione geometrica della differenziabilità di una funzione di più varibili.
3.2 Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine. Metodi variazionali - principio di minima azione, equazioni di Eulero-Lagrange. Equazioni lineari a coefficienti costanti - richiami ed esempi. Risonanza.
3.3 Equazioni differenziali ordinarie. Teoremi di esistenza e unicità della soluzione. Teorema di Cauchy. Lemma di Gronwall. Teoremi di confronto. Intervallo massimo di esistenza. Criterio di esistenza globale di una soluzione. Funzione di Lyapounov. Studi qualitativi in dimensione uno e due.
3.4 Equazioni differenziali parziali. Equazione delle onde. Equazione di Laplace. Equazione del calore.
4. Forme differenziali e integrali curvilinei.
4.1 Forme differenziali in R^n. 1-forme, 2-forme e k-forme in R^n - definizioni. Somma di forme differenziali. Prodotto di una forma differenziale con una funzione. Prodotto esterno tra forme differenziali. Differenziale di una funzione. Derivata esterna di una forma differenziale. Forme chiuse e forme esatte. Le forme esatte sono chiuse. Esempio di una forma chiusa ma non esatta.
4.2 Integrazione di 1-forme. Curve in R^n. Curve C^1 a tratti, curve chiuse, curve semplici. Curve equivalenti. L'opposta di una curva. Concatenamento di curve. Integrale di una 1-forma su una curva C^1 a tratti. Integrazione su curve opposte. Integrazione su curve concatenate. Integrazione su curve equivalenti. Integrazione di forme esatte su curve chiuse. Caratterizzazione delle 1-forme esatte attraverso l'integrazione su curve chiuse. In un rettangolo le forme chiuse sono esatte. In un aperto stellato le forme esatte sono chiuse. Teorema della derivazione sotto il segno dell'integrale. Domini diffeomorfi. In R^3 il toro e la palla non sono diffeomorfi.
4.3 Integrazione di funzioni su curve. Integrale di una funzione continua su una curva. Integrazione su curve equivalenti. Integrazione su curve opposte. Integrazione su curve concatenate. Approssimazione dell'integrale su una curva con delle somme parziali. Lunghezza di una curva.
5. Integrazione in R^n.
5.1 Integrale di Riemann. Integrazione di Riemann su un dominio rettangolare. Partizioni di un dominio rettangolare. Somme di Riemann superiori e inferiori. Integrale di Riemann superiore e inferiore. Integrabilità di una funzione limitata si un rettangolo. Integrabilità delle funzioni continue su domini rettangolari. Teorema di Fubini su domini rettangolari. Integrale di una funzione su un insieme limitato. Integrabilità di una funzione continua su un dominio normale. Teorema di Fubini in domini normali.
5.2 Integrazione per parti e teorema della divergenza. Formlule di Gauss-Green in domini normali. Teorema della divergenza su domini normali in dimensione due. Partizione dell'unità in domini regolari. Teorema della divergenza su domini regolari in dimensione due. Applicazione del teorema della diveregenza - Laplaciano, equazione del calore, variazione della temperatura totale e flusso di calore attraverso il bordo di un insieme regolare.
5.3 Formula di Stokes. Teorema di Stokes su domini normali in dimensione due. Orientazione in dimensione due. Curve che parametrizzano il bordo di un insieme in senso antiorario. Formula di Stokes su domini regolari in dimensione due. Le formule di Gauss-Green come conseguenza della fromula di Stokes. Diffeomorfismi e orientazione in domini bidimensionali. Cambio delle variabili in dimensione due. Integrazione in coordinate polari nel piano. Integrale della funzione Gaussiana.
5.4 Integrazione su superfici parametriche. Superfici parametriche in dimensione due. Superfici parametriche equivalmenti. Integrale di una 2-forma su una superficie parametrica in dimensione due. Integrazione su superfici parametriche equivalenti. Formula di Stokes per le superfici. Prodotto vettoriale in dimensione tre. Divergenza e rotore di un campo in dimensione tre. Versore normale a una superficie. Versore normale su superfici equivalenti. Integrazione di funzioni su superfici. Teorema del rotore. Applicazione della formula di Stokes - Legge di Faraday e la terza equazione di Maxwell.
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Appunti del corso,
Marcellini, Sbordone - Analisi Matematica 2,
Fusco, Marcellini, Sbordone - Analisi Matematica 2,
Acerbi, Buttazzo - Analisi Matematica 2
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Prodotti scalari euclidei, diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, limitatezza.
Ripasso: immagini, definizione di convesso, preimmagini, grafici, coordinate polari, cilindriche e sferiche.
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Alcuni esercizi su funzioni di piu' variabili vettoriali che possono essere affrontati con le competenze e le capacita' acquisite nei corsi di analisi per funzioni reali di una variabile reale, e di algebra lineare.
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Prodotti scalari euclidei, diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, limitatezza. Le proprieta' astratte della distanza, della norma e del prodotto scalare euclidei. Esempi di immagini di funzioni.
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Esempi di parametrizzazioni affini (segmenti, parallelogrammi ...), nozione di convesso e funzione convessa (esempi 8-11), il cerchio e' convesso (dimostrazione analitica). Preimmagni, livelli, sottolivelli, (esempi 1, 2, 4, 5, 6 , 7). Grafici sottografici intragrafici esempi. Coordinate polari, cilindriche, sferiche. Proiezione stereografica. Primi due temi esercizio 1 in FE1.
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Spazi astratti: spazi metrici, normati con prodotto scalare: norma uniforme, seminorma integrale, prodotto scalare integrale ``euclideo'' tra funzioni. Nozioni e definizioni di base di topologia in spazi metrici.
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Spazi metrici, normati e con prodotto scalare. Diverse norme e distanze negli spazi cartesiani e sui numeri reali: interpretazione geometrica grazie alle diseguaglianze per componenti. Norma uniforme, seminorma integrale, e prodotto scalare integrale semidefinito su spazi di funzioni. Convergenza di successioni in spazi metrici. Aperti, chiusi, chiusura e parte interna.
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Limiti di successioni e di funzioni di una variabile reale a valori negli spazi cartesiani. Chiusi e compatti per successioni negli spazi cartesiani. Cammini regolari e rette tangenti. Integrali di funzioni di una variabile a valori in spazi cartesiani e diseguaglianza tra norma dell'integrale e integrale delle norme.
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Dal teorema 14 compreso in poi: chiusi e chiusi per successioni.
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FT2: frontiera, punti di accumulazione, palla chiusa e chiusura della palla, grafici di funzioni reali di variabile reale continue su intervalli chiusi, sopragrafici delle stesse su intervalli aperti. Caratterizzazione dei chiusi: chiusi per successioni.
Intorni, aperti, chiusi relativi. Distanze metricamente equivalenti e topologicamente equivalenti. Esempi.
FT5 Funzioni di una variabile reale e successioni a valori in spazi cartesiani. Uso delle diseguaglianze per componenti. Definizioni di limite. Le successioni convergenti sono limitate. Chiusi per successioni, sequenzialmente compatti Teorema di Bolzano Weiestrass in dimensione finita.
Cammini in spazi cartesiani. Teorema di Weistrass per cammini. Cammini semplici, chiusi, derivabilita' di cammini, versori tangenti, cammini regolari e regolari chiusi. Rette tangenti. Esempi. Integrale vettoriale per funzioni di una variabile a valori in spazi cartesiani: linearita', additivita', teorema del calcolo, integrazione per parti con il prodotto scalare, diseguaglianza triangolare. Esempi.
FT6 definizioni di limiti di funzioni tra spazi (pseudo) metrici, limiti all'infinito, limiti divergenti per funzioni a valori reali. Unicita' del limite in spazi metrici.
Criteri di convergenza per successioni e per restrizioni Esempi. Limiti iterati e limiti: esempi.
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Limiti e continuita' in particolare per funzioni di piu' variabili reali. Convergenza puntuale, convergenza uniforme, convergenza integrale di successioni di funzioni. Continuita' uniforme, teoremi di Weisetrass, Bolzano Weisetrsa, Heine-Cantor- Borel. Continuita' e nozioni topologiche. Connessi.
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Relazione tra limiti di funzioni e convergenza uniforme di curve di funzioni, in prima facciata, e relativi esempi in seconda, nella terza vi e' la dimostrazione che tutte le norme negli spazi cartesiani sono equivalenti, ed infine in quarta la sostituzione di variabile nei limiti e conseguenze (come l'algebra dei limiti).
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Primi due paragrafi ed esercizi, ultimi due paragrafi approfondimenti.
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Compatti, teorema di Weierstrass, uniforme continuita' teorema di Heine-Cantor-Borel.
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Paragrafi 1.1 ed 1.2: successioni di Cauchy e completezza, sino la teorema 2.1 compreso, e teorema 3. Teorema delle contrazioni. Funzioni uniformemente continue e completezza. Convergenza totale.
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1) Nozioni topologiche, esercizi appunti Velichkov C1P2, e FT2.2.1, 2, 3 esempi da 1 a 7:
ese. 19 (prodotto di chiusi con chiusi sequenziali. Cfr. prodotto di aperti con intorni e diseguaglianze per componenti)
eser.20, 21 e esem. 4 (diversa dimostrazione con chiusi sequenziali)
eser. 24 tipo esame (densita' negli spazi cartesiani dei punti a coordinate razionali, e dei punti a coordinate irrazionali)
Esercizio lasciato come riflessione: esercizio 18.
2) Cammini: FE1 eser. 1 tema terzo (eliminazione del paramtero non lineare ed espressione esplicita di una coordinate in termini dell'altra, uso delle derivate delle funzioni coordinate per capire l'andamento dell'immagine del cammino, eliminazione implicita del parametro, nei valori di regolarita' del cammino studio della convessita' della sua immagine in termini delle derivate seconde rispetto al paramtero) . FE1 ese. 10 (parametrizzazione dell'intersezione di due grafici di funzioni reali di due variabili e coordinate polari)
Lasciato: FE1 es.1 tema quarto, giustificare il disegno proposto.
3) Distanze su insiemi di funzioni: eser.. 7a (distanza uniforme di f(t)= sin t dall'insieme delle funzioni costanti), es. 10ab (convergenza puntuale ed uniforme)
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FE4 esercizio 1.
FT6.1.3 limiti superiore ed inferiore per funzioni a valori reali: definizione e caratterizzazione (senza dimostrazione), teorema di esistenza del limite (senza dimostrazione).
FT6.2.1 continuita in un punto: quattro diverse caratterizzazioni, funzione oscillazione su una palla. Continuita' della funzione composta (dimostrazione), continuita' delle funzioni vettoriali con funzioni componenti continue (dim.).
FT6.2.2 semicontinuita' definizione.
FT6.2.3 convergenza uniforme e convergenza in area, convergenza uniforme e convergenza puntuale. Esempi. Chiusi per successioni (dim.) Sequenzialmnte compatti, chiusi di sequenzialmente compatti (dim.), continuita' sequenziale (dim.).
FT6.3.1 continuita' su un dominio e continuita' uniforme, parallelo con la convergenza uniforme rispetto al centro delle funzioni oscillazione. Composizione di funzioni uniformememnte continue e' uniformemente continua (dim.) Teorema di Heine-Cantor- Borel (dim.). Teorema di Weiestrass (dim.). Esistenza di massimi e minimi di funzioni reali continue su compatti (dim.). Teorema di Bolzano-Weiertrass (dim.). Controesempio per la norma uniforme. Estensione del criterio di esistenza del minimo per funzioni reali definite su aperti di spazi cartesiani (enunciato).
FT6.4 caratterizzazione mediante preimmagine delle funzioni continue (preimmagine di un aperto/chiuso e' aperta/chiusa) (dim.). Continuita' dell'inversa di una funzione continua definita su un compatto (dim.). Contoresempi. Grafici di funzioni continue sono chiusi (dim.). Omeomorfismi. Connessi e connessi per archi: connessione per archi dei convessi , i connessi di IR sono gli intervalli (dim.). Un connesso per archi e' connesso (dim.). Controesempio. Immagine e grafico di funzioni continue su connessi/connessi per archi lo sono (dim.) corollario del valor medio.
Lasciato per casa mostrare che gli aperti connessi degli spazi cartesiani sono connessi per poligonali con lati paralleli agli assi, e quindi sono connessi per archi (indicazione: Lemma i cubi con spigoli paralleli agli assi sono connessi per poligonali cartesiane, si prosegua per assurdo considerando gli insiemi dei punti raggiungibili da p con tali poligonali e quello dei punti non raggiungibili da p).
FT6.6 l regole di generazione di funzioni continue con dim.: 1 composizione, 2 funzioni vettoriali, 3 funzioni lineari tra spazi cartesiani, holderianita e lipschitzianita', 4 prodotti delle coordinate (generalizzazione alle funzioni bilineari dominate), 5 funzioni continue in un gruppo di variabili ed uniformemente rispetto a queste nel rimanente gruppo: funzioni coninue in un gruppo di variabili ed Holderiane nel complesso delle rimanenti. Esempio di funzione di due variabili continua ristretta ad una qualsiasi retta ma non continua.
FT6.7 COMPLEMENTO non svolto: convessita' e lipschitzianita' locale.
FT9.1 .1 successioni di Cauchy, totale limitatezza e 9.1.2 completezza. Le successioni convergenti sono di Cauchy, le succ. di C. sono totalmente limitate (dim.). Completezza degli spazi cartesiani, in generale prodotto di spazi completi. II sottospazi completi di uno spazio completo sono i sottoinsiemi chiusi (dim.) Enunciato equivalenza tra sequenziale compattezza ed essere sia completi che totalmente limitati (enunciato).
FT9 Teorema 3 enunciato: 1) Le successioni di funzioni limitate di Cauchy per la distanza uniforme sono equilimitate, quindi limite uniforme di funzioni limitate e' limitato. 2) Le successioni di funzioni continue di Cauchy per la distanza uniforme sono equicontinue. 3) quindi limite uniforme di funzioni continue e' continuo 4) La distanza uniforme rende lo spazio delle funzioni limitate a valori in uno spazio completo, a sua volta uno spazio completo. Quindi le funzioni continue limitate a valori in uno spazio metrico completo sono uno sottospazio chiuso per la distanza uniforme dello spazio delle funzioni limitate.
FT91.3 Teorema 4 enunciato teorema delle contrazioni (dimostrazione in seguito)
FT9.1.4 uniforme continuita' e successioni di Cauchy. Limite uniforme di uniformente continue e' uniformemente continuo.
FT9.1.5 La convergenza totale in spazi normati completi implica la convergenza in norma (Complemento: schema della dimostrazione come per la convergenza assoluta di serie numeriche).
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LEZIONE del 20/10/21
FT9.1.2 dimostrazioni: delle proprieta' di equlimitatezza ed equicontinuita' delle successioni di Cauchy per la norma uniforme, completezza per la norma uniforme degli spazi di funzioni a valori in spazi completi, limite uniforme di funzioni continue e' una funzione continua. FT9.1.3 dimostrazione del teorema delle contrazioni di Banach-Caccioppoli. FT9.1.4 enunciato: limite uniforme di funzioni uniformemente continue e' uniformemente continuo. FT9.1.5 Spazi vettoriali normati completi (Banach). Dimostrazione del criterio di convergenza totale per serie in tali spazi.
ESERCITAZIONE DEL 20/10/21
SU CONVERGENZA PUNTUALE, UNIFORME ED INTEGRALE: FE3 es. 14 (convergenza totale per la norma uniforme) FE3 es. 9b (successioni di funzioni del tipo f_n(x)= a_n f(x-b_n)), c (successioni di funzioni ``troncate''), FE3 es.12 terzo tema (composizione di funzione uniformemente continua con successione convergente uniformemente).
Lasciato per casa FE3es.13
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Cammini: riparametrizzazioni, equivalenza, orientazione, opposto, giustapposizione. Teorema del rango ``baby''.
Per esercizi FE2.
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E' da intendere come ultimo paragrafo del foglio di teoria 8.
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LEZIONE
Relazioni tra continuita' puntuale e convergenza uniforme (da allegare a FT6), esempi con le coordinate polari e sferiche.
FT7 riparametrizzazioni di cammini, ripar. di cammini chiusi, equivalenze tra cammini, regolarita' a tratti, orientazione cinematica e orientabilita' del sostegno, esempi e una condizione sufficiente, opposto e giustapposizione di cammini.
FT7 grafici locali, dim. del teorema del rango per cammini.
FT8 lunghezza differenziale di cammini ed indipendenza dalla parametrizzazione, param. di lunghezza d'arco, sua interpretazione geometrica per cammini semplici non chiusi, relazione tra la derivazione rispetto al param. di lunghezza d'arco e un altro param.
FT8 integrazione non orientata di funzioni, anche a valori in spazi cartesiani, su cammini, media e centro di massa. Proprieta' di invarianza e di additivita'. Integrazione orientata di campi di vettori su cammini, lavoro di una forza. Invarianza per ripar. cresc., cambi di sego, additivita'.
ESERCITAZIONE
FE4 es.4 correzione, analisi dell'errore fatto, pareggio degli esponenti in un denominatore somma di potenze con cambio di variabile. FE4 es.7 primo tema (continuita' nel complesso delle due variabili della funzione integrale di una funzione continua integrata rispetto ad una variabile, uso della teoria criterio di continuita' separata uniforme rispetto ad una variabile e dell'uniforme contiuita'). FE4 es.8 a, es.8 b (uso della caratterizzazione della continuita' per riconoscere sottonisiemi chiusi definiti mediante diseguaglianze deboli, uso del teorema di Weiestrass, ancora continuita' puntuale come convergenza uniforme rispetto alla direzione)
Esempi di cammini con sostegno non orientabile (cfr. FT7 oss.1, FT5 esem.2, FT5 esem.1). Esempio di cammino regolare di lunghezza infinita definito su un intervallo aperto limitato (cfr. FT7 esem.4). FE2 es.8a lunghezza di un'elica equilatera, impostazione del calcolo del baricentro. FE2 es.11 impostazione del calcolo dell'integrale orientato di un campo nello spazio tridimensionale lumgo una curva.
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Oltre agli argomenti sui limiti trattati il 23 ottobre: relazione tra limiti di funzioni e convergenza uniforme di curve di funzioni, in prima facciata, e relativi esempi in seconda,
nella terza vi e' la dimostrazione che tutte le norme negli spazi cartesiani sono equivalenti, ed infine in quarta la sostituzione di variabile nei limiti e conseguenze (come l'algebra dei limiti).
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Derivate parziali, derivate parziali e connessi, derivate direzionali, derivate successive, teorema di Schwarz. Differenziabilita, grafici locali, matrici jacobiana e gradiente, piani tangenti a grafici, vettori tangenti a grafici e regola della catena con cammini, significato geometrico dei gradienti come vettori del dominio e tangente ad insiemi di livello, tangenti ad immagini. Il diffrenziale del funzione di matrice determinante.
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Teorema del differenziale totale, funzione differenziale, funzione differenziale di forme quadratiche, Matrice hessiana, matrice hessiana e derivate direzionali, laplaciano.
Diseguaglianze del valor medio (Lagrange),. Teorema di Eulero, funzioni convesse e differenziabilita'.
Generazione di funzioni diffrenziabili. Regola della catena. Differenziale dell'inversa. Cambi di coordnate non lineari e relazioni tra le Jaobiane rispetto alle nuove variabilil. DIffrenziabilita' e coordinate polari sferiche e cilindriche.
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E' da intendere come ultimo paragrafo del foglio di teoria 8.
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LEZIONE
Campo solenoidale e angolo con segno ``cumuluativo'' fatto attorno all'origine da un cammino non passante per essa (anomalia del cammino), derivate parziali dell'anomalia naturale e campo solenoidale. Cammini in coordinate polari, anomalia e loro lunghezza (ultimo paragrafo FT8 in versione semplficata).
Derivate parziali. Esempi. Dimostrazione di: una funzione con derivate parziali nulle in un aperto connesso e' costante. Derivate parziali successive. Cambio dell'ordine di derivazione. Dimostrazione del teorema di Schwarz. Notazione con i multiindindici. Spazi C^k di aperti e di chiusure. Derivate direzionali. Derivate direzionali iterate. Derivate direzionali rispetto un campo.
Introduzione alla differenzaibilita' problematiche: come definire la dimensione di un sottoinsieme di uno spazio cartesiano. Grafici locali. Come definire, verificare l'esistenza e calcolare il piano tangente, della giusta dimensione, in un punto a un sottoinsieme di data dimensione? Deve contenere le velocita' nel punto dei cammini con sostegno nel sottoinsieme.
Esempi di grafici di funzioni reali di due variabili per cui vi sono curve indcidenti in punto del grafico, con tre velocita' nel punto indipendenti.
ESERCITAZIONE
Lunghezza della spirale in coordinate polari r= 1/(a+1). Esempi 1, 2, 3, 6, 8 FT10 (calcolo di derivate parziali e direzionali per funzioni di due variabili: controesempio allo scambio di ordine di derivazione, funzioni discontinue, con tutte le derivate direzionali, funzioni continue con tutte le derivate direzionale ma con tre velocita' tangenti al grafico in un punto)
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LEZIONE
FT10 seconda parte. Definizione di funzione, tra spazi cartesiani, differenziabile in un punto interno. Esemplificazioni per funzioni di una variabile, di due variabili a valori reali, di due variabili a valori nello spazio tridimensionale. Matrice jacobiana e sua trasposta: matrice gradiente. Dimostrazione del teorema di differenziabilita' delle funzioni lineari, linearita' della differenziazione in un punto, di continuita' delle funzioni differenziabili, di unicita' del differenziale in un punto, differenziale e derivate parziali e derivate direzionali (teorema 2 FT10). Varie notazioni per le derivate direzionali.
Piano tangente al grafico come traslato del grafico del differenziale: equazioni e forme parametrica. Regola della catena per cammini dimostrazione. Il differenziale di f in un punto e' la funzione lineare che trasforma velocita' di cammini a valori nel dominio nelle velocita' dei cammini ottenuti compoendo con la funzione f. Giacitura del tangente ad un grafico come spazio di velocita'.
Interpretazione geometrica dei gradienti come vettori nel dominio ortogonali ad insiemi di livello. Il piano tangente ad un luogo di zeri (localmente grafico) e' il traslato del luogo di zeri del differenziale se questo e' di rango massimo. Equazioni del tangente ad un luogo di zeri. Massima pendenza.
Il tangente ad immagini (localmente grafici) e' il traslato dell'immagine del differenziale se questo e' di rango massimo. Forma parametrica.
FT11 Dimostrazione del teorema del differenziale totale. La funzione differenzile. DIfferenziale della distanza, di forme quadratiche. Enunciato di una seconda versione del teorema di Schwarz. Hessiano, hessiano e derivate direzionali, laplaciano, hessiano della distanza.
Diseguaglianza del valor medio dimostrazione. Diseguaglianza della media integrale. Dimostrazione del teorema di Eulero per le funzioni omogenne. Enunciati delle relazioni tra differenzaibilita' e convessita'.
Regole di generazione di funzioni differenziabili. Regola della catena per la composizione di funzioni differenziabili, varie notazioni e dimostrazione. Funzioni radiali. Differnziale della funzione inversa e sua regolarita'.
ESERCITAZIONE
FE5 es 2, 4ce (verifica diretta della differenziabilita' e del calcolo del gradiente con diseguaglianze e sviluppi di Taylor), FE5 es 5 , es 4a (tangenti e normali a luoghi di zeri) , es 4d (tangente ad immagini).
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Dimostrazione del teorema di invertibilita' locale tramite il teorema delle contrazioni. Dimostrazioni del teorema del DIni per funzioni di due variabili: sistemi non lineari, esempi, polinomi di Tayolr delle funzioni implicite. Enunciato del teorema del DIni in punti critici con hessiano a determinante non nullo. Teorema generale delle funzioni implicite. Teoremi del rango.
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Per altri esercizi sull'argomento sviluppi di Taylor: dall'esercizio 19, pagina 6 parte 8, in poi.
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Correzione di una giustificazione nella dimostrazione del teorema di Schwarz (FT1).
Esercizi su differenziabilita' e derivate direzionali: FE5 es.3 primo tema, Tema di esame Giugno 2021 es. 31 appunti Velchkov C2P3. Derivazione rispetto ad altre variabili FE5 es.14 (regola della catena).
Ripasso dell'enunciato e dimostrazione del teorema delle contrazioni. Lemmi preparatori alla dimostrazione del teorema di invertibilita' locale (stime tra le norme di una matrice e dell'inversa, invertibilita' della Jaobiana in un intorno per funzioni C1, stime di continuita' puntuale di un eventuale inversa), teorema di perturbazioni contrattive dell'identita'. Dimostrazione dl teorema di invertibilita' locale e regolarita' dell'inversa.
Esercizio di calcolo della Jacobiana in punto dell'inversa: FE6 es.5.
Commenti sull'enunciato del teorema delle funzioni implicite per funzioni reali di due variabili realei (del Dini). Se la linearizzata di un'equazione, in un punto che e' soluzione, ha una retta di soluzioni allora vicino alla soluzione data ci sono infinite soluzioni dipendenti da un solo parametro. Dimostrazione del teorema delle funzioni implicite per funzioni reali di due variabili reali (via teorema di invertibilita' locale)
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Ripetezione dei commenti sull'enunciato del teorema del Dini. I due principali controesempi. Ulteriori osservazioni se una derivata parziale e' non nulla su tutto l'insieme di livello esso e' un unione di grafici rispetto all'altra variabile. Se non nulla in tutto il piano l'insieme di livello e' un grafico. FE6 es.2
Derivate successive delle funzioni implicite: FT12 oss 8, esempio 1. Enunciato del teorema del Dini intorno a un punto in cui il gradiente e' nullo ma l'hessiano e' invertibile: le singolarita' dell'insieme di livello sono o punti isolati (hessaino con autval. dello stesso segno) o punti di incrocio di due grafici (hessiano con autoval. di segno opposto).
Enunciato del teorema del Dini per funzioni reali di piu' variabili reali. Notazioni con multindici per un gruppo di variabili.FE6 es.5a 9 (funz. implicita di due variabili su tre)
Notazioni con multindici per sottomatrici ottenute cancellando righe o colonne. Notazioni per tali sottmatrici di jacobiane (``derivate parziali'' rispetto ad un gruppo di variabili) . Enunciato del teorema delle funzioni implicite per funzioni tra spazi cartesiani con notazione che lo rende formalmente uguale a quello del teorema del Dini. Interpretazione con sistemi linearizzati.
Deduzione del teorema di invertibilita' locale dal teorema delle funzioni implicite generale FT12 oss.12. Le derivate di una variabile rispetto ad un'altra dipende dal complesso delle variabili indipendenti scelto FT12 oss.14 esempio2 caso lineare. FE6 es 15 calcolo per una funzione di cinque variabili a valori nel piano della derivata di una variabile rispetto a dun altra.
Teorema del rango analisi dell'enunciato schema della dimostrazione: analoga a quella del teorema per cammini con derivata non nulla. FE6 es5c calcolo del piano tangente di una superficie data in forma parametrica.
Enunciato del teorema di Taylor per funzioni di piu' variabili in ipotesi minime ( k-2 derivate continue, e k-1 derivate a loro volta differenziabili in un solo punto) con le derivate direzionali. Unicita' del polinomio di grado minore eguale a k con la proprieta' di approssimazione voluta.
Formula esplicita con le derivate parziali del polinomio nel caso k=2.: relazione tra hessiano e derivate direzionali doppie. Uso della seconda versione del teorema di Schwarz. Dimostrazione del teorema per funzioni di due variabili e polinomi di grado al piu' due.
Esercizio 23 appunti per i corso di laurea in Fisica di Velchkov C2P8: uso dell'unicita', degli sviluppi di funzioni di una variabile e di confornto di infinitesimi
FE7 es 4, sviluppo di Taylor ``decentrato''.
FE7 es2, ancora unicita', e poi sviluppo di Taylor al secondo ordine di una funzione definita implicitamente.
Notazione con multindici: fattoriale, binomiale, potenza,. Dimostrazione dello sviluppo multinomiale: deduzione della relazione tra derivate direzionali iterate e le derivate parziali. Differenziali di ordine k. Enunciato del teorema di Taylor con le derivate parziali.
FE7 es. 7 uso dell'espressione del polinomio di Taylor con derivate parziali e multindici per il calcolo delle derivate parziali.
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