Indice degli argomenti
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ForumAVVISOVariazione di aula:gli esami orali dell'appello di fine luglio si terrannomartedi 26 lugliodalle ore 14in Sala delle Riunioni al primo piano del Dipartimento di Matematica.VMTAVVISOGli orali di martedì 5 luglio sono ANTICIPATIalle ore 9.30e SPOSTATIpresso il Dipartimento di Matematicaal primo piano in aula riunioniprovvista di aria condizionataVMTAVVISO
Gli orali del terzo appello continuranno
venerdì 25 febbraio dalle ore 11 in B34.
PER GLI STUDENTI CHE FARANNO LE PROVE SCRITTE A DISTANZA
Salve
per gli studenti che dovranno fare le prove scritte a distanza:
di norma i testi delle prove vi verranno spediti via e-mail come file PDF.
Avrete 4 ore per rispondere, con svolgimento e giustificazioni, ai quesiti, e per farne copia in formato PDF.
Dovete spedire gli elaborati alla professoresse Acquistapace
francesca.acquistapace@unipi.it
Ognuno deve spedire il suo elaborato in un UNICO file formato PDF.
VMT
Salve
per chi non avesse ricevuto il messaggio della professoressa Acquistapace:
lo scritto del 12 gennaio 2022 avverra' a distanza,
la professoressa mandera' ad ognuno il file con il testo,
lo svolgimento dovra' essere riconsegnato alla porfessoressa come file pdf.
VMTSalve
1) oltre che per eventuali ricevimenti individuali su appuntamento, di norma la professoressa ricevera' on line il venerdi pomeriggio dalle 14,30 sul sito del corso in google classroom.
2) grazie alla collaborazione di qualche studente volenteroso le lezioni della professoressa in presenza potranno ogni tanto essere trasmesse in streaming.
Quando cio' non avenisse la professoressa e' disponibile nell'orario di ricevimento sopra detto a ripeter, basandosi sugli appunti da lei redatti, la lezione.
VMT
Gli appunti delle lezioni saranno disponibili al piu venerdi, e si troveranno nella home page della professoressa, il cui link e' presente in questa pagina e-learning.
VMT
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INTRODUZIONE
La titolare dell'insegnamento e' la professoressa Francesca Acquistapace, francesca.acquistapace@unipi.it, con cui il responsabile di questa pagina, Vincenzo Maria Tortorelli (VMT), vincenzo.tortorelli@unipi.it, collabora.
Un'altra preziosa collaboratrice sara' la professoressa Giulia Fidanza, giulia.fidanza@yahoo.it, che curera' ricevimenti di tutorato ed ulteriori esercitazioni.
Nel presente sito si troveranno nell'ordine:
collegamento alla pagina della professoressa ove si trovano i testi delle prove scriitte degli scorsi anni,
collegamento al registro delle lezioni,
collegamento al meet dell'insegnamento
orario delle lezioni
testi
materiale didattico
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TESTI DI RIFERIMENTO
Oltre agli appunti delle lezioni e delle esercitazioni:
Marco Abate Algebra lineare Mc Grow
(non sara` seguito tutto e sara` integrato da pagine di dispense).
Per la prima parte di geometria analitica si puo` fare riferimento al testo delle lezioni ed eventualmente al libro di
Silvana Abeasis Elementi di algebra lineare e geometria Zanichelli.
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Per files di materiale didattico relativi alle esercitazioni si faccia anche riferimento al sito dello scorso anno
https://elearn.ing.unipi.it/course/view.php?id=1940.
Per files di materiale didattico relativi alle lezioni si faccia riferimento al sito della profesoressa Acquistapace
http://people.dm.unipi.it/acquistf/didattica/Ingegneria/
NOTA: prima dei fogli di esercizi, vi sono due altri eserciziari (Berarducci-Papini e Carrara, questo con soluzioni), oltre a una nota per il ripasso dei prerequisiti riportata anche qui sotto.
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Spazio euclideo tridimensionale: due punti generici=retta, tre punti generici=piano, posizioni reciproche di rette, piani e punti, punto e retta generici=piano. Parallelismo, parallelogramma. Espressione algebrica di rette e piani: sistemi di riferimento cartesiani sulla retta e nello spazio, numeri reali, coordinate, parallelogrammi somme e coordinate, equazione parametrica delle rette, equazione parametrica dei piani, eliminazione dei parametri, equazione cartesiana di un piano, equazioni cartesiane di una retta. Fascio di piani per una retta. Vettori. Proiezioni ortogonali su un piano: proiezione e parallelismo, proiezione e somma (parallelogrammi), proiezione e multipli di vettori. Proiezione ortogonale su una retta: somma e multipli. Linearita' di una funzione. Prodotto scalare tra due vettori come prodotto delle lunghezze e del coseno dell'angolo compreso. Commutativita'. Proiezione ortogonale su una retta e prodotto scalare. Prodotto scalare in coordinate cartesiane. Indipendenza dal sistema di riferimento cartesiano.
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Proiezione ortogonale di un vettore sulla retta generata da un altro.
Definizione ed espressione analitica dell'ortogonalita' di due piani nello spazio (coefficienti delle loro equazioni con prodotto scalare nullo).
Foglio Esercizi 1: domande 1, 2, 3, 4, 5 (rette e piani in forma parametrica: immagini di funzioni; rette e piani con equazioni cartesiane: preimmagini di funzioni) 6a, b, c (rette sghembe, piano ortogonale ad una retta, vettori che danno la direzione della retta).
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FE1: domande 7 (fascio di piani per una retta), 8, 9 (prodotto scalare), 10 (piano per tre punti), 11 (piano per una retta), 12 (piani paralleli), 13 (retta che non interseca un piano), 14 (piani paralleli che contengono rette sghembe), 15 (simmetrico di un punto rispetto ad un piano: definizione, con punto medio, e calcolo), 16 (distanza di un punto da un piano: procedura generale e dimostrazione formula e cacolo), 17 simmetrico di un punto rispetto ad una retta (piano ortogonale e punto medio).
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FE1 esercizio 1 (proiezione retta su piano), es. 2, 3, 4 (panii parelleli contenenti rette sghembe e rette che le secano entrambe).
Prodotto scalare negli spazi cartesiani di dimensione qualsiasi.
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DIPENDENZA LINEARE IN SPAZI CARTESIANI. Aggiungendo ad una famiglia di vettori ortogonali a coppie (indipendenti) un altro vettore ortogonale si ottiene una famiglia di vettori indipendenti. FE2 Domanda 2a, posizione reciproca di piani bidimensionali in IR^5. SISTEMI LINEARI E METODO DI RIDUZIONE DI GAUSS e' possibile esprimere (1111) come combinazione lineare di (0123),(1023), (1203),(1230): riduzione a sistema lineare, soluzione per sostituzione e con Gauss. Temi di esame: Es1 del 18gen2016, Es2 26lug2016 (parziale).
NOTE: RITARDO DELLA LEZIONE, malfunzionamento del proiettore e della telecamera dell'aula. Diverse interruzioni dello streaming.
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SISTEMI LINEARI Variante di Es.2 del 26lug2016: soluzione con sostituzione e con riduzionne di Gauss. Altro sistema lineare con due parametri. Numero parametri soluzioni =numero variabili - numero pivot (scalini lunghi e varaibili parametriche). Scalini corti forma diagonale. NOTA: diverse e prolungate interruzioni dello steraming.
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Secondo foglio di esercizi: domanda 2bc posizioni reciproche di piani affini bidimensionali nello spazio cartesiano di dimensione quattro, lineare indipendenza, ortogonalita', lineare dipendenza e risolubilita' di sistemi lineari, uso della struttura della riduzione a scala per questioni di incidenza.
Secondo foglio esercizio 1.1,2: un problema di natura geometrica con parametri discusso con riduzione a scala.
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Definizione di funzione lineare tra spazi vettoriali. Una funzione lineare e' determinata se sono fissati i suoi valori sugli elementi di una base. Matrice associata ad una funzione lineare tra spazi cartesiani. Le translazioni e le omotetie, e quindi il parallelismo, si possono esprimere nella struttura di spazio vettoriale.
Le trasformazioni del piano cartesiano in se che trasformano rette parallele distinte in rette parallele distinte, lasciano fissa l'origine, e commuta con le omotetie e' lineare (regola del parallelogramma) (FE4 domanda 5). Matrice associata ad una rotazione attorno all'origine (FE4 d.1), matrice associata ad una riflessione rispetto ad una retta per l'origine (FE4 d. 2).
Prodotto notevole: norma al quadrato di una differenza. Il prodotto scalare si esprime come differenza di quadrati di norme.
Le isometrie (lineari) del piano in se che lasciano fissa l'origine sono tutte e sole rotazioni intorno all'origine e riflessioni rispetto a rette passanti per l'origine (FE4 d.3).
Su richiesta degli studenti in margine alla dimostrazione de teorema di completamento esposta a lezione il 28 ottobre: lineare indipendenza a coppie non implica lineare indipendenza, due vettori indipendenti nel piano cartesiano sono una base (regola del parallelogramma), come esprimere la ``lineare indipendenza'' tra sottospazi vettoriali (l'intersezione di ognuno con lo spazio ``somma'' degli altri ha solo il vettore nullo). Un vettore indipendente da altri vettori e' ambiguo: indipendente a coppie o la retta da esso generata interseca il sottospazio generato dai rimanenti solo nel vettore nullo? Questione se un vettore non appartiene allo spazio generato da altri ma se aggiungo a questi con un altro vettore e' vero che il primo dipende linearmente da questo? No.
Introduzione al concetto di somma diretta. ``Somma'' di sottoinsiemi in uno spazio vettoriale, `omotetizzato'' di un sottoinsieme, traslato di un sottoinsieme. Notazioni. Somma ed intersezione di sottospazi sono sottospazi. Lo spazio generato dall'unione di due sottospazi e' lo spazio somma. Es. funzioni pari e dispari (FE3 dom. 1). Definizione di somma diretta di due sottospazi (unicita' della decomposizione) e caratterizzazione. Ricapitolazione: l'insieme delle combinazioni lineari di elementi di un sottoinsieme e' uno spazio vettoriale: il piu' piccolo che contiene l'insieme (FE3 es.3). Intersezione arbitraria di stsp. Esempio spazio vettoriale delle potenze della variabile con esponente reale. Matrice trasposta. Simmetrizzato di una matrice. Esempio matrici simmetriche ed antisim. (FE3 d2), sono stsp poiche' nuclei i funzioni lineari. Matrice trasposta. Simmetrizzato di una matrice.
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Esercizi su lineare indipendenza, spazi vettoriali di matrici, somma diretta, identita' di spazi orotgonali (identita' di polarizzazione). FE3 d3, appunti su somme dirette, FE3 eserczio 3.
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FE3: d5 esempio di sistemi lineari omogenei in cinque incognite come condizioni di ortogonalita e eguaglianze di polarizzazione, equazioni di uno spazio e basi dell'ortogonale. d6 esempio sistemi lineari omogenei in cinque incognite e nuclei di funzioni lineari, somma diretta e teorema della dimensione, proiezioni su un sottospazio lungo un suo supplementare d7 esempio di basi nello spazio tridimensionale, interpretazione della matrice avente come colonne le coordinate naturali degli elementi di una base, la sua matrice inversa e' la matrice che trasforma le coordinate della base naturale in quelle della base scelta, conferma con il metodo di eliminazione di Gauss. Calcolo dell'inversa di una matrice 4x4 con il metodo di riduzione di Gauss. Per casa FE3 d8, 9, 10, 11
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Risorsa
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Polinomi, esponenziali complessi, somme dirette: FE3 domande 8, 9, 10 , 11.
Ripasso: teorema di Ruffini, teorema di divisione tra polinomi.
Le classi di resto della divisione per due ({0,1} ovvero pari, dispari) come campo numerico: Z2.
Un polinomio non nullo in Z2[z] che calcola su Z2 la funzione nulla: z2 +z
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Risorsa
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Esempi di matrici e funzioni lineari che non commutano. Matrici associate a funzioni lineari in basi date: FE4 domanda 6 (matrici associate a funzioni lineari di rango uno), d.8 ab, d.10 ab, d. 11, d.12.
Interruzione per malfunzionamento proiettore.
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FE4 d 12 seconda soluzione (usando l'immagine della trasposta) d. 13 ab.
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L'esercitazione dell'8 dicembre si recuperera' per via telematica su Google Classroom del corso lunedi 13 dicembre ore 15.
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Risorsa
Esercizi sul determinante
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Risorsa
Esercizi sul determinante
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Risorsa
Esercizi su determinante e diagonlizzazione
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Risorsa
Esercizi su diagonalizzazione
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RECUPERO A DISTANZA SULLA PIATTAFORMA CLASSROOM DEL CORSO DELL'ESERCITAZIONE DI MERCOLEDI 8 DICEMBRE 2021.
Esercizi su matrici associate in una base ad endomorfismi, similitudine, detrminanti, polinomio minimo e diagonalizzabilita'.
FE4 domande 13, 14, 15 (matrici delle mosse di Gauss), 17bis, 18
FE5 domande 1, 2a (2c solo enunciato), 7.
La rotazione lineare di pi/2 annulla il polinomio x^2+1 e non annulla nessun polinomio, anche a coefficienti complessi, di grado minore non banale: quindi e' il suo polinomio minimo.
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Esercitazione tenuta a distanza tramite la piattaforme Google-Classroom dell'insegnamento, causa parziale chiusura dei poli didattci per sciopero.
FE4 esercizio 3 (nucleo di L(A)=AB-BA, A 2x2) FE4bis domanda 1(supplementari ad uno stesso sottospazio hanno egual dimensione), d.6c pseudo inversa di Moore-Penrose e proiettore ortogonale (A(tAA)^{-1} tA ), d.8 (se una matrice triangolare superiore ha sulla diagonale 1 ed una sua potenza e' l'identita e' l'identita') , FE7/8 domanda 1 (studio della diagonalizzabilita' di una matrice 4x4 e base in cui e' triangolare superiore)
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