Audiovideo esercitazione del 3 novembre.
Definizione di funzione lineare tra spazi vettoriali. Una funzione lineare e' determinata se sono fissati i suoi valori sugli elementi di una base. Matrice associata ad una funzione lineare tra spazi cartesiani. Le translazioni e le omotetie, e quindi il parallelismo, si possono esprimere nella struttura di spazio vettoriale.
Le trasformazioni del piano cartesiano in se che trasformano rette parallele distinte in rette parallele distinte, lasciano fissa l'origine, e commuta con le omotetie e' lineare (regola del parallelogramma) (FE4 domanda 5). Matrice associata ad una rotazione attorno all'origine (FE4 d.1), matrice associata ad una riflessione rispetto ad una retta per l'origine (FE4 d. 2).
Prodotto notevole: norma al quadrato di una differenza. Il prodotto scalare si esprime come differenza di quadrati di norme.
Le isometrie (lineari) del piano in se che lasciano fissa l'origine sono tutte e sole rotazioni intorno all'origine e riflessioni rispetto a rette passanti per l'origine (FE4 d.3).
Su richiesta degli studenti in margine alla dimostrazione de teorema di completamento esposta a lezione il 28 ottobre: lineare indipendenza a coppie non implica lineare indipendenza, due vettori indipendenti nel piano cartesiano sono una base (regola del parallelogramma), come esprimere la ``lineare indipendenza'' tra sottospazi vettoriali (l'intersezione di ognuno con lo spazio ``somma'' degli altri ha solo il vettore nullo). Un vettore indipendente da altri vettori e' ambiguo: indipendente a coppie o la retta da esso generata interseca il sottospazio generato dai rimanenti solo nel vettore nullo? Questione se un vettore non appartiene allo spazio generato da altri ma se aggiungo a questi con un altro vettore e' vero che il primo dipende linearmente da questo? No.
Introduzione al concetto di somma diretta. ``Somma'' di sottoinsiemi in uno spazio vettoriale, `omotetizzato'' di un sottoinsieme, traslato di un sottoinsieme. Notazioni. Somma ed intersezione di sottospazi sono sottospazi. Lo spazio generato dall'unione di due sottospazi e' lo spazio somma. Es. funzioni pari e dispari (FE3 dom. 1). Definizione di somma diretta di due sottospazi (unicita' della decomposizione) e caratterizzazione. Ricapitolazione: l'insieme delle combinazioni lineari di elementi di un sottoinsieme e' uno spazio vettoriale: il piu' piccolo che contiene l'insieme (FE3 es.3). Intersezione arbitraria di stsp. Esempio spazio vettoriale delle potenze della variabile con esponente reale. Matrice trasposta. Simmetrizzato di una matrice. Esempio matrici simmetriche ed antisim. (FE3 d2), sono stsp poiche' nuclei i funzioni lineari. Matrice trasposta. Simmetrizzato di una matrice.