Settimana III: 13-15 ottobre

Osservazioni euristiche ed esercizi sui limiti.

Primi due paragrafi ed esercizi, ultimi due paragrafi  approfondimenti.

Quarto paragrafo 

Compatti, teorema di Weierstrass, uniforme continuita' teorema di Heine-Cantor-Borel. 

Connessi per archi negli spazi cartesiani.

Paragrafo  terzo.

1) Nozioni topologiche, esercizi appunti Velichkov C1P2, e FT2.2.1, 2, 3 esempi da 1 a 7:

ese. 19 (prodotto di chiusi con chiusi sequenziali. Cfr. prodotto di aperti con intorni e diseguaglianze per componenti)

 eser.20, 21 e esem. 4 (diversa dimostrazione con chiusi sequenziali)

eser.  24 tipo esame (densita' negli spazi cartesiani dei punti a coordinate razionali, e dei punti a coordinate irrazionali)

Esercizio lasciato come riflessione: esercizio 18.

2) Cammini:  FE1 eser. 1 tema terzo (eliminazione del paramtero non lineare ed espressione esplicita di una coordinate in termini dell'altra,  uso delle derivate delle funzioni coordinate per capire l'andamento dell'immagine del cammino,  eliminazione implicita del parametro, nei valori  di regolarita' del cammino studio della convessita' della sua immagine in termini delle derivate seconde rispetto al paramtero)  . FE1 ese. 10  (parametrizzazione dell'intersezione di due grafici di  funzioni reali  di due variabili  e coordinate polari) 

Lasciato:  FE1 es.1 tema quarto, giustificare il disegno proposto.

3) Distanze su insiemi di funzioni: eser.. 7a (distanza uniforme di f(t)= sin t dall'insieme delle funzioni costanti), es. 10ab (convergenza puntuale ed uniforme) 

FE4 esercizio 1.

FT6.1.3 limiti superiore ed inferiore per funzioni a valori reali: definizione e caratterizzazione (senza dimostrazione), teorema di esistenza del limite (senza dimostrazione).

FT6.2.1  continuita in un punto: quattro diverse caratterizzazioni, funzione oscillazione su una palla. Continuita' della funzione composta (dimostrazione), continuita' delle funzioni vettoriali con funzioni componenti continue (dim.).

FT6.2.2 semicontinuita' definizione.

FT6.2.3 convergenza uniforme e convergenza in area, convergenza uniforme e convergenza puntuale. Esempi. Chiusi per successioni (dim.) Sequenzialmnte compatti, chiusi di sequenzialmente compatti (dim.), continuita' sequenziale (dim.).

FT6.3.1 continuita' su un dominio e continuita' uniforme, parallelo con la convergenza uniforme rispetto al centro  delle funzioni oscillazione. Composizione di funzioni uniformememnte  continue e' uniformemente continua (dim.) Teorema di Heine-Cantor- Borel (dim.). Teorema di Weiestrass (dim.). Esistenza di massimi e minimi di funzioni reali continue su compatti (dim.). Teorema di Bolzano-Weiertrass (dim.). Controesempio per la norma uniforme. Estensione del criterio di esistenza del minimo per funzioni reali definite su aperti di spazi cartesiani (enunciato).

FT6.4 caratterizzazione mediante preimmagine delle funzioni continue (preimmagine di un aperto/chiuso e' aperta/chiusa) (dim.). Continuita' dell'inversa di una funzione continua definita su un compatto (dim.). Contoresempi. Grafici di funzioni continue sono chiusi (dim.). Omeomorfismi. Connessi e connessi per archi: connessione per archi dei convessi , i connessi di IR sono gli intervalli (dim.). Un connesso per archi e' connesso (dim.). Controesempio. Immagine e grafico di funzioni continue su connessi/connessi per archi lo sono (dim.) corollario del valor  medio.

Lasciato per casa mostrare che gli aperti connessi degli spazi cartesiani sono connessi per poligonali con lati paralleli agli assi, e quindi sono connessi per archi (indicazione: Lemma i cubi con spigoli paralleli agli assi sono connessi per poligonali cartesiane, si prosegua per assurdo considerando gli insiemi  dei punti raggiungibili da  p con tali poligonali e quello dei punti non raggiungibili da p).

FT6.6 l regole di generazione di funzioni continue con dim.:  1 composizione, 2 funzioni vettoriali, 3  funzioni lineari tra spazi cartesiani, holderianita e lipschitzianita', 4 prodotti delle coordinate (generalizzazione alle funzioni bilineari dominate), 5  funzioni continue in un gruppo di  variabili ed uniformemente rispetto a queste nel rimanente gruppo: funzioni coninue in un gruppo di variabili ed Holderiane nel complesso delle rimanenti. Esempio di funzione di due variabili continua ristretta ad una qualsiasi retta ma non continua.

FT6.7 COMPLEMENTO non svolto: convessita'  e lipschitzianita' locale.

FT9.1 .1 successioni di Cauchy,  totale limitatezza e 9.1.2  completezza. Le successioni convergenti sono di Cauchy, le succ. di C. sono totalmente limitate (dim.). Completezza degli spazi cartesiani, in generale prodotto di  spazi completi. II sottospazi completi di uno spazio completo sono i sottoinsiemi chiusi (dim.)  Enunciato equivalenza tra sequenziale compattezza ed essere sia completi che totalmente limitati (enunciato).

FT9 Teorema 3 enunciato: 1) Le successioni di funzioni limitate di Cauchy per la distanza uniforme sono equilimitate, quindi limite uniforme di funzioni limitate e' limitato. 2) Le successioni di funzioni continue  di Cauchy per la distanza uniforme sono equicontinue. 3) quindi limite uniforme di funzioni continue e' continuo 4) La distanza uniforme rende lo  spazio delle funzioni limitate a valori in uno spazio completo, a sua volta uno spazio completo. Quindi le funzioni continue limitate a valori in uno spazio metrico completo sono uno sottospazio chiuso per la distanza uniforme dello spazio delle funzioni limitate.

FT91.3 Teorema 4 enunciato teorema delle contrazioni (dimostrazione in seguito)

FT9.1.4 uniforme continuita' e successioni di Cauchy. Limite uniforme di uniformente continue e' uniformemente continuo.

FT9.1.5 La convergenza totale in spazi normati completi implica la convergenza in norma (Complemento: schema della dimostrazione come per la convergenza assoluta di serie numeriche).