Audiovideo lezione del 15/10/21
FE4 esercizio 1.
FT6.1.3 limiti superiore ed inferiore per funzioni a valori reali: definizione e caratterizzazione (senza dimostrazione), teorema di esistenza del limite (senza dimostrazione).
FT6.2.1 continuita in un punto: quattro diverse caratterizzazioni, funzione oscillazione su una palla. Continuita' della funzione composta (dimostrazione), continuita' delle funzioni vettoriali con funzioni componenti continue (dim.).
FT6.2.2 semicontinuita' definizione.
FT6.2.3 convergenza uniforme e convergenza in area, convergenza uniforme e convergenza puntuale. Esempi. Chiusi per successioni (dim.) Sequenzialmnte compatti, chiusi di sequenzialmente compatti (dim.), continuita' sequenziale (dim.).
FT6.3.1 continuita' su un dominio e continuita' uniforme, parallelo con la convergenza uniforme rispetto al centro delle funzioni oscillazione. Composizione di funzioni uniformememnte continue e' uniformemente continua (dim.) Teorema di Heine-Cantor- Borel (dim.). Teorema di Weiestrass (dim.). Esistenza di massimi e minimi di funzioni reali continue su compatti (dim.). Teorema di Bolzano-Weiertrass (dim.). Controesempio per la norma uniforme. Estensione del criterio di esistenza del minimo per funzioni reali definite su aperti di spazi cartesiani (enunciato).
FT6.4 caratterizzazione mediante preimmagine delle funzioni continue (preimmagine di un aperto/chiuso e' aperta/chiusa) (dim.). Continuita' dell'inversa di una funzione continua definita su un compatto (dim.). Contoresempi. Grafici di funzioni continue sono chiusi (dim.). Omeomorfismi. Connessi e connessi per archi: connessione per archi dei convessi , i connessi di IR sono gli intervalli (dim.). Un connesso per archi e' connesso (dim.). Controesempio. Immagine e grafico di funzioni continue su connessi/connessi per archi lo sono (dim.) corollario del valor medio.
Lasciato per casa mostrare che gli aperti connessi degli spazi cartesiani sono connessi per poligonali con lati paralleli agli assi, e quindi sono connessi per archi (indicazione: Lemma i cubi con spigoli paralleli agli assi sono connessi per poligonali cartesiane, si prosegua per assurdo considerando gli insiemi dei punti raggiungibili da p con tali poligonali e quello dei punti non raggiungibili da p).
FT6.6 l regole di generazione di funzioni continue con dim.: 1 composizione, 2 funzioni vettoriali, 3 funzioni lineari tra spazi cartesiani, holderianita e lipschitzianita', 4 prodotti delle coordinate (generalizzazione alle funzioni bilineari dominate), 5 funzioni continue in un gruppo di variabili ed uniformemente rispetto a queste nel rimanente gruppo: funzioni coninue in un gruppo di variabili ed Holderiane nel complesso delle rimanenti. Esempio di funzione di due variabili continua ristretta ad una qualsiasi retta ma non continua.
FT6.7 COMPLEMENTO non svolto: convessita' e lipschitzianita' locale.
FT9.1 .1 successioni di Cauchy, totale limitatezza e 9.1.2 completezza. Le successioni convergenti sono di Cauchy, le succ. di C. sono totalmente limitate (dim.). Completezza degli spazi cartesiani, in generale prodotto di spazi completi. II sottospazi completi di uno spazio completo sono i sottoinsiemi chiusi (dim.) Enunciato equivalenza tra sequenziale compattezza ed essere sia completi che totalmente limitati (enunciato).
FT9 Teorema 3 enunciato: 1) Le successioni di funzioni limitate di Cauchy per la distanza uniforme sono equilimitate, quindi limite uniforme di funzioni limitate e' limitato. 2) Le successioni di funzioni continue di Cauchy per la distanza uniforme sono equicontinue. 3) quindi limite uniforme di funzioni continue e' continuo 4) La distanza uniforme rende lo spazio delle funzioni limitate a valori in uno spazio completo, a sua volta uno spazio completo. Quindi le funzioni continue limitate a valori in uno spazio metrico completo sono uno sottospazio chiuso per la distanza uniforme dello spazio delle funzioni limitate.
FT91.3 Teorema 4 enunciato teorema delle contrazioni (dimostrazione in seguito)
FT9.1.4 uniforme continuita' e successioni di Cauchy. Limite uniforme di uniformente continue e' uniformemente continuo.
FT9.1.5 La convergenza totale in spazi normati completi implica la convergenza in norma (Complemento: schema della dimostrazione come per la convergenza assoluta di serie numeriche).