Settimana IV: 20-22 ottobre

LEZIONE del 20/10/21

 FT9.1.2 dimostrazioni: delle proprieta' di equlimitatezza ed equicontinuita' delle successioni di Cauchy per la norma uniforme, completezza per la norma uniforme degli spazi di funzioni a valori in spazi completi, limite uniforme di funzioni continue e' una funzione continua. FT9.1.3 dimostrazione del teorema delle contrazioni di Banach-Caccioppoli. FT9.1.4 enunciato: limite uniforme di funzioni uniformemente continue e' uniformemente continuo. FT9.1.5 Spazi vettoriali normati completi (Banach). Dimostrazione del criterio di convergenza totale per serie in tali spazi.

ESERCITAZIONE DEL 20/10/21

SU CONVERGENZA PUNTUALE, UNIFORME ED INTEGRALE: FE3 es. 14 (convergenza totale per la norma uniforme) FE3 es. 9b (successioni di funzioni del tipo f_n(x)= a_n f(x-b_n)), c (successioni di funzioni ``troncate''), FE3 es.12 terzo tema (composizione di funzione uniformemente continua con successione convergente uniformemente).

Lasciato per casa FE3es.13 

LEZIONE 

Relazioni tra continuita' puntuale e convergenza uniforme (da allegare a FT6), esempi con le coordinate polari e sferiche.

 FT7 riparametrizzazioni di cammini, ripar. di cammini chiusi, equivalenze tra cammini, regolarita' a tratti, orientazione cinematica e orientabilita' del sostegno, esempi e una condizione sufficiente, opposto e giustapposizione di cammini. 

FT7 grafici locali, dim. del teorema del rango per cammini. 

FT8 lunghezza differenziale di cammini ed indipendenza dalla parametrizzazione, param. di lunghezza d'arco, sua interpretazione geometrica per cammini semplici non chiusi, relazione tra la derivazione rispetto al param. di lunghezza d'arco e un altro param. 

FT8 integrazione non orientata di funzioni, anche a valori in spazi cartesiani, su cammini, media e centro di massa. Proprieta' di invarianza e di additivita'. Integrazione orientata di campi di vettori su cammini, lavoro di una forza. Invarianza per ripar. cresc., cambi di sego, additivita'.

ESERCITAZIONE

FE4 es.4 correzione, analisi dell'errore fatto, pareggio degli esponenti in un denominatore somma di potenze con cambio di variabile. FE4 es.7 primo tema (continuita' nel complesso delle due variabili della funzione integrale di una funzione continua integrata rispetto ad una variabile, uso della teoria criterio di continuita' separata uniforme rispetto ad una variabile e dell'uniforme contiuita'). FE4 es.8 a, es.8 b (uso della caratterizzazione della continuita' per riconoscere sottonisiemi chiusi definiti mediante diseguaglianze deboli, uso del teorema di Weiestrass, ancora continuita' puntuale come convergenza uniforme rispetto alla direzione) 

Esempi di cammini con sostegno non orientabile (cfr. FT7 oss.1, FT5 esem.2, FT5 esem.1). Esempio di cammino regolare di lunghezza infinita definito su un intervallo aperto limitato (cfr. FT7 esem.4). FE2 es.8a lunghezza di un'elica equilatera, impostazione del calcolo del baricentro. FE2 es.11 impostazione del calcolo dell'integrale orientato di un campo nello spazio tridimensionale lumgo una curva.