Settimana II: 6-8 ottobre

Sino al lemma13 compreso.

Spazi metrici, normati e con prodotto scalare. Diverse norme e distanze negli spazi cartesiani e sui numeri reali: interpretazione geometrica grazie alle diseguaglianze per componenti. Norma uniforme, seminorma integrale, e prodotto scalare integrale  semidefinito su spazi di funzioni. Convergenza di successioni in spazi metrici.  Aperti, chiusi, chiusura e parte interna. 

Secondo paragrafo.

Dal teorema 14 compreso in poi:  chiusi e chiusi per successioni. 

FT2: frontiera, punti di accumulazione, palla chiusa  e chiusura della palla, grafici di funzioni reali di variabile reale continue su intervalli chiusi, sopragrafici delle stesse su intervalli aperti.   Caratterizzazione dei chiusi: chiusi per successioni.

Intorni, aperti, chiusi relativi. Distanze metricamente equivalenti e topologicamente equivalenti. Esempi.

FT5 Funzioni di una variabile reale e successioni a valori in spazi cartesiani. Uso delle diseguaglianze per componenti. Definizioni di limite. Le successioni convergenti sono limitate. Chiusi per successioni, sequenzialmente compatti Teorema di Bolzano Weiestrass in dimensione finita.

Cammini in spazi cartesiani. Teorema di Weistrass per cammini. Cammini semplici, chiusi,  derivabilita' di cammini,  versori tangenti, cammini regolari e regolari chiusi. Rette tangenti.  Esempi. Integrale vettoriale per funzioni di una variabile a valori in spazi cartesiani: linearita', additivita', teorema del calcolo, integrazione per parti con il prodotto scalare, diseguaglianza triangolare. Esempi.

FT6 definizioni di limiti di funzioni tra spazi (pseudo) metrici, limiti all'infinito, limiti divergenti per funzioni a valori reali. Unicita' del limite in spazi metrici. 

Criteri di convergenza per successioni e per restrizioni Esempi. Limiti iterati e limiti: esempi.