Settimana VI: 3-5 novembre

Per altri esercizi sull'argomento sviluppi di Taylor: dall'esercizio 19, pagina 6 parte 8, in poi. 

Correzione di una giustificazione nella dimostrazione del teorema di Schwarz (FT1).

Esercizi su differenziabilita' e derivate direzionali:  FE5 es.3 primo tema, Tema di esame Giugno 2021 es. 31 appunti Velchkov C2P3. Derivazione rispetto ad altre variabili FE5 es.14 (regola della catena).

Ripasso dell'enunciato e dimostrazione del teorema delle contrazioni. Lemmi preparatori alla dimostrazione del teorema di invertibilita' locale (stime tra le norme di una matrice e dell'inversa, invertibilita' della Jaobiana in un intorno per funzioni C1,  stime di continuita' puntuale di un eventuale inversa), teorema di perturbazioni contrattive dell'identita'. Dimostrazione dl teorema di invertibilita' locale e regolarita' dell'inversa.

Esercizio di calcolo della Jacobiana in punto dell'inversa: FE6 es.5.

Commenti sull'enunciato del teorema delle funzioni implicite per funzioni reali di due variabili realei (del Dini). Se la linearizzata di un'equazione, in un punto che e' soluzione,  ha una retta di soluzioni allora vicino alla soluzione data ci sono infinite soluzioni dipendenti da un solo parametro.  Dimostrazione del teorema delle funzioni implicite per funzioni reali di due variabili reali (via teorema di invertibilita' locale)

Ripetezione dei commenti sull'enunciato del teorema del Dini. I due principali controesempi. Ulteriori osservazioni se una derivata parziale e' non nulla su tutto l'insieme di livello esso e' un unione di grafici rispetto all'altra variabile. Se non nulla in tutto il piano l'insieme di livello e' un grafico. FE6  es.2

Derivate successive delle funzioni implicite: FT12 oss 8, esempio 1. Enunciato del teorema del Dini intorno a un punto in cui il gradiente e' nullo ma l'hessiano e' invertibile: le singolarita' dell'insieme di livello sono o punti isolati (hessaino con autval. dello stesso segno)  o punti di incrocio di due grafici (hessiano con autoval. di segno opposto).
Enunciato del teorema del Dini per funzioni reali di piu' variabili reali. Notazioni con multindici per un gruppo di variabili.

FE6 es.5a 9 (funz. implicita di due variabili su tre)

Notazioni con multindici per sottomatrici ottenute cancellando righe o colonne. Notazioni per tali sottmatrici di jacobiane (``derivate parziali''  rispetto ad un gruppo di variabili) . Enunciato del teorema delle funzioni implicite per funzioni tra spazi cartesiani con notazione che lo rende formalmente uguale a quello del teorema del Dini. Interpretazione con sistemi linearizzati.

Deduzione del teorema di invertibilita' locale dal teorema delle funzioni implicite generale FT12 oss.12. Le derivate di una variabile rispetto ad un'altra dipende dal complesso delle variabili indipendenti scelto FT12 oss.14 esempio2 caso lineare. FE6 es 15 calcolo per una funzione di cinque variabili a valori nel piano della derivata di una variabile rispetto a dun altra.

Teorema del rango analisi dell'enunciato schema della dimostrazione: analoga a quella del teorema per cammini con derivata non nulla. FE6 es5c calcolo del piano tangente di una superficie data in forma parametrica.

Enunciato del teorema di Taylor per funzioni di piu' variabili in ipotesi minime ( k-2 derivate continue, e  k-1 derivate a loro volta differenziabili in un solo punto)   con le derivate direzionali. Unicita' del polinomio di grado minore eguale a k con la proprieta' di approssimazione voluta.

Formula esplicita con le derivate parziali del polinomio nel caso k=2.: relazione tra hessiano e derivate direzionali doppie. Uso della seconda versione del teorema di Schwarz. Dimostrazione del teorema per funzioni di due variabili e polinomi di grado al piu' due.

Esercizio 23 appunti per i corso di laurea in Fisica di Velchkov C2P8: uso dell'unicita', degli sviluppi di funzioni di una variabile e di confornto di infinitesimi

FE7 es 4, sviluppo di Taylor ``decentrato''.

FE7 es2, ancora unicita',  e poi sviluppo di Taylor al secondo ordine  di una funzione definita implicitamente.

Notazione con multindici: fattoriale, binomiale, potenza,. Dimostrazione dello sviluppo multinomiale: deduzione della relazione tra derivate direzionali iterate e le derivate parziali. Differenziali di ordine k. Enunciato del teorema di Taylor con le derivate parziali.

FE7 es. 7 uso dell'espressione del polinomio di Taylor con derivate parziali e multindici per il calcolo delle derivate parziali.