Section outline
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Derivate parziali, derivate parziali e connessi, derivate direzionali, derivate successive, teorema di Schwarz. Differenziabilita, grafici locali, matrici jacobiana e gradiente, piani tangenti a grafici, vettori tangenti a grafici e regola della catena con cammini, significato geometrico dei gradienti come vettori del dominio e tangente ad insiemi di livello, tangenti ad immagini. Il diffrenziale del funzione di matrice determinante.
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Teorema del differenziale totale, funzione differenziale, funzione differenziale di forme quadratiche, Matrice hessiana, matrice hessiana e derivate direzionali, laplaciano.
Diseguaglianze del valor medio (Lagrange),. Teorema di Eulero, funzioni convesse e differenziabilita'.
Generazione di funzioni diffrenziabili. Regola della catena. Differenziale dell'inversa. Cambi di coordnate non lineari e relazioni tra le Jaobiane rispetto alle nuove variabilil. DIffrenziabilita' e coordinate polari sferiche e cilindriche.
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E' da intendere come ultimo paragrafo del foglio di teoria 8.
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LEZIONE
Campo solenoidale e angolo con segno ``cumuluativo'' fatto attorno all'origine da un cammino non passante per essa (anomalia del cammino), derivate parziali dell'anomalia naturale e campo solenoidale. Cammini in coordinate polari, anomalia e loro lunghezza (ultimo paragrafo FT8 in versione semplficata).
Derivate parziali. Esempi. Dimostrazione di: una funzione con derivate parziali nulle in un aperto connesso e' costante. Derivate parziali successive. Cambio dell'ordine di derivazione. Dimostrazione del teorema di Schwarz. Notazione con i multiindindici. Spazi C^k di aperti e di chiusure. Derivate direzionali. Derivate direzionali iterate. Derivate direzionali rispetto un campo.
Introduzione alla differenzaibilita' problematiche: come definire la dimensione di un sottoinsieme di uno spazio cartesiano. Grafici locali. Come definire, verificare l'esistenza e calcolare il piano tangente, della giusta dimensione, in un punto a un sottoinsieme di data dimensione? Deve contenere le velocita' nel punto dei cammini con sostegno nel sottoinsieme.
Esempi di grafici di funzioni reali di due variabili per cui vi sono curve indcidenti in punto del grafico, con tre velocita' nel punto indipendenti.
ESERCITAZIONE
Lunghezza della spirale in coordinate polari r= 1/(a+1). Esempi 1, 2, 3, 6, 8 FT10 (calcolo di derivate parziali e direzionali per funzioni di due variabili: controesempio allo scambio di ordine di derivazione, funzioni discontinue, con tutte le derivate direzionali, funzioni continue con tutte le derivate direzionale ma con tre velocita' tangenti al grafico in un punto)
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LEZIONE
FT10 seconda parte. Definizione di funzione, tra spazi cartesiani, differenziabile in un punto interno. Esemplificazioni per funzioni di una variabile, di due variabili a valori reali, di due variabili a valori nello spazio tridimensionale. Matrice jacobiana e sua trasposta: matrice gradiente. Dimostrazione del teorema di differenziabilita' delle funzioni lineari, linearita' della differenziazione in un punto, di continuita' delle funzioni differenziabili, di unicita' del differenziale in un punto, differenziale e derivate parziali e derivate direzionali (teorema 2 FT10). Varie notazioni per le derivate direzionali.
Piano tangente al grafico come traslato del grafico del differenziale: equazioni e forme parametrica. Regola della catena per cammini dimostrazione. Il differenziale di f in un punto e' la funzione lineare che trasforma velocita' di cammini a valori nel dominio nelle velocita' dei cammini ottenuti compoendo con la funzione f. Giacitura del tangente ad un grafico come spazio di velocita'.
Interpretazione geometrica dei gradienti come vettori nel dominio ortogonali ad insiemi di livello. Il piano tangente ad un luogo di zeri (localmente grafico) e' il traslato del luogo di zeri del differenziale se questo e' di rango massimo. Equazioni del tangente ad un luogo di zeri. Massima pendenza.
Il tangente ad immagini (localmente grafici) e' il traslato dell'immagine del differenziale se questo e' di rango massimo. Forma parametrica.
FT11 Dimostrazione del teorema del differenziale totale. La funzione differenzile. DIfferenziale della distanza, di forme quadratiche. Enunciato di una seconda versione del teorema di Schwarz. Hessiano, hessiano e derivate direzionali, laplaciano, hessiano della distanza.
Diseguaglianza del valor medio dimostrazione. Diseguaglianza della media integrale. Dimostrazione del teorema di Eulero per le funzioni omogenne. Enunciati delle relazioni tra differenzaibilita' e convessita'.
Regole di generazione di funzioni differenziabili. Regola della catena per la composizione di funzioni differenziabili, varie notazioni e dimostrazione. Funzioni radiali. Differnziale della funzione inversa e sua regolarita'.
ESERCITAZIONE
FE5 es 2, 4ce (verifica diretta della differenziabilita' e del calcolo del gradiente con diseguaglianze e sviluppi di Taylor), FE5 es 5 , es 4a (tangenti e normali a luoghi di zeri) , es 4d (tangente ad immagini).
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