Audiovideo lezione/esercitazione del 29/10/21
LEZIONE
FT10 seconda parte. Definizione di funzione, tra spazi cartesiani, differenziabile in un punto interno. Esemplificazioni per funzioni di una variabile, di due variabili a valori reali, di due variabili a valori nello spazio tridimensionale. Matrice jacobiana e sua trasposta: matrice gradiente. Dimostrazione del teorema di differenziabilita' delle funzioni lineari, linearita' della differenziazione in un punto, di continuita' delle funzioni differenziabili, di unicita' del differenziale in un punto, differenziale e derivate parziali e derivate direzionali (teorema 2 FT10). Varie notazioni per le derivate direzionali.
Piano tangente al grafico come traslato del grafico del differenziale: equazioni e forme parametrica. Regola della catena per cammini dimostrazione. Il differenziale di f in un punto e' la funzione lineare che trasforma velocita' di cammini a valori nel dominio nelle velocita' dei cammini ottenuti compoendo con la funzione f. Giacitura del tangente ad un grafico come spazio di velocita'.
Interpretazione geometrica dei gradienti come vettori nel dominio ortogonali ad insiemi di livello. Il piano tangente ad un luogo di zeri (localmente grafico) e' il traslato del luogo di zeri del differenziale se questo e' di rango massimo. Equazioni del tangente ad un luogo di zeri. Massima pendenza.
Il tangente ad immagini (localmente grafici) e' il traslato dell'immagine del differenziale se questo e' di rango massimo. Forma parametrica.
FT11 Dimostrazione del teorema del differenziale totale. La funzione differenzile. DIfferenziale della distanza, di forme quadratiche. Enunciato di una seconda versione del teorema di Schwarz. Hessiano, hessiano e derivate direzionali, laplaciano, hessiano della distanza.
Diseguaglianza del valor medio dimostrazione. Diseguaglianza della media integrale. Dimostrazione del teorema di Eulero per le funzioni omogenne. Enunciati delle relazioni tra differenzaibilita' e convessita'.
Regole di generazione di funzioni differenziabili. Regola della catena per la composizione di funzioni differenziabili, varie notazioni e dimostrazione. Funzioni radiali. Differnziale della funzione inversa e sua regolarita'.
ESERCITAZIONE
FE5 es 2, 4ce (verifica diretta della differenziabilita' e del calcolo del gradiente con diseguaglianze e sviluppi di Taylor), FE5 es 5 , es 4a (tangenti e normali a luoghi di zeri) , es 4d (tangente ad immagini).