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Ripasso sulla nozione astratta di funzione, immagini, preimmagini, grafici, funzioni lineari.
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Diseguaglianze di Cauchy-Schwarz, di massima pendenza, per componenti.
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Seminorme integrali, norma uniforme, spazi di successioni.
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Continuita', limiti, derivabilita', cammini, integrali in una variabile, diseguaglianza triangolare.
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Teoremi di Weiestrass, Bolzano Weiestrass, Heine Cantor Borel, preimmagini di funzioni continue, generazione di funzioni continue.
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Cammini derivabili o regolari a tratti, opposto e giustapposizione di cammini, teorema del rango unidimensionale,
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Lunghezza astratta, ascissa curvilinea, curvatura, integrali di funzioni versus integrali di vettori su cammini.
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Limiti di funzioni tra spazi metirci, convergenza uniforme, integrale e quadratica. Completezza seuqenziale, Completezza degli spazi delle funzioni limitate e delle continue. Teorema delle contrazioni e convergenza totale.
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Convergenza puntuale. Confronto tra i vari tipi di convergenza di successioni e serie di funzioni. Criteri di passaggio al limite negli integrali. Criteri di continuita' e derivabilita' degli integrali.
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Forme bilineari, matrici simmetriche e forme quadratiche. Segnatura: polinomio caratteristico, Sylvester, mosse di Gauss Jordan: ``rigonne''.
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Formula di Cauchy Binet, interpretazione del del prodotto vettoriale, interpretazione geometrica del determinante, e del determinante del prodotto tra la trasposta e la matrice, teorema di ``Cauchy Binet Pitagora''.
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Derivate parziali, differenziabilita' e tangenza a grafici, preimmagini, immagini, differenziale tangenziale, proiettori.
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Teoremi sulla differenziabilita', differenziale totale, regola della catena, coordinate curvilinee, integrali dipendenti da parametri.
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Le nozioni di punti regolari, di punti di bordo, di sottovarieta' e di superficie parametrica.
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Teoremi di invertibilita' locale, delle funzioni implicite e del rango.
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Le nozioni equivalenti a quelle di sottovarieta'.
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Sviluppo multinomiale, multindici, sviluppi di Taylor.
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Metodi diretti ed indiretti di ottimizzazione condizioni necessarie al primo e al secondo ordine, moltiplicatori di Lagrange, condizioni sufficienti e studio locale dei punti stazionari. Condizioni al bordo.
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Funzioni positivamente omogenee e ottimizzazione, forme quadratiche ed ottimizzazione, caratterizzazione variazionale degli autovalori.
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Insiemi e funzioni convesse, supporto affine interno chiusura e frontiera relativa, le prime nozioni per l'ottimizzazione convessa, campi monotoni ed enunciati delle caratterizzazioni differenziali della convessita'.
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Enunciati e definzioni esempi, nella parte finale le dimostrazioni. Insiemi di misura nulla e misura esterna. Insiemi misurabili e misura numerabilmente additiva. Funzioni misurabili e convergena quasi ovunque. L'integrale di Lebesgue e le sue prorpieta', sommabilita', completezza delle seminorme integrali, integrali dipendenti da parametri, teorema del valor medio.
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I teoremi di Fubini e Tonelli, domini normali. Gli enunciati del cambio di variabile negli integrali:
caso finito e caso infinitesimo formula dell'area, molteplicita'. I primi teoremi di Guldino Pappo, baricentri e i solidi di rotazione. Esempi. Integrali su domini variabili, perturbazioni dell'identita' e significato della divergenza di un campo di ``velocita'''. Integrali non orientati su varieta': superfici parametriche ammissibili per l'integrazione, M-Jacobiano, moletplicita', caso bidimensionale e prodotto vettoriale, il caso di grafici, indipendenza dalla parametrizzazione e integrali su varieta'. Formule di Guldino Pappo e superficie di rotazione. Esempi. Prima forma fondamentale.
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Sunto di FT21 e FT22: enunciati, definzioni e principali esempi.
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Campi conservativi, integrabili o esatti, chiusi o irrotazionali e localmente integrabili. Lemma di Poincare' elementare su domini stellati, campi positivamente omogenei su coni. Campo solenoidale e campo gravitazionale. Invarianza per omotopia degli integrali orientati di campi localmente integrabili , semplicemente connessi.
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Identificazione nello spazio tridimensionale di 2-vettori e 2-covettori con vettori: le formule di Cauchy-Binet e il prodotto quadruplo.
Orientazione e orientazione indotta sul bordo: dai segmenti alle varieta'. Flussi come integrazione orientata di campi su superficie. Potenziali vettoriali e criteri di esattezza, notazione delle forme differenziali.
I teoremi di Stokes e della divergenza : caso geometrico e caso parametrico.
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Argomento euristico per dedurre la formula. Esericizio guidato e risolto per provare che essa da' un potenziale vettore.