Indice degli argomenti
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INTRODUZIONE
La titolare dell'insegnamento e' la professoressa Francesca Acquistapace, francesca.acquistapace@unipi.it, con cui il responsabile di questa pagina, Vincenzo Maria Tortorelli (VMT), vincenzo.tortorelli@unipi.it, collabora.
Un'altra preziosa collaboratrice sara' la professoressa Giulia Fidanza, ailuig.aznadif@gmail.com, che curera' ricevimenti di tutorato ed ulteriori esercitazioni.
Nel presente sito si troveranno nell'ordine:
collegamento alla pagina della professoressa ove si trovano i testi delle prove scriitte degli scorsi anni,
collegamento al registro delle lezioni,
collegamento al sito google-classroom per meet
orario delle lezioni
testi
materiale didattico
VMT-
Utile per sapere quanto si e' svolto in una data lezione od esercitazione.
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TESTI DI RIFERIMENTO
Oltre agli appunti delle lezioni e delle esercitazioni i testo di riferimento:
Marco Abate Algebra lineare Mc Grow
(non sara` seguito tutto e sara` integrato da pagine di dispense).
Per la prima parte di geometria analitica si puo` fare riferimento al testo delle lezioni ed eventualmente al libro di
Silvana Abeasis Elementi di algebra lineare e geometria Zanichelli.
Un'altro testo interessante:
Enrico Schlesinger Algebra lineare e geometria Zanichelli .
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Per files di materiale didattico relativi alle esercitazioni si faccia anche riferimento al sito degli scorsi anni
https://elearn.ing.unipi.it/course/view.php?id=2547 https://elearn.ing.unipi.it/course/view.php?id=1940.
Per files di materiale didattico relativi alle lezioni e ai testi di prove di esame degli anni passati si faccia riferimento al sito della profesoressa Acquistapace
http://people.dm.unipi.it/acquistf/didattica/Ingegneria/
NOTA: prima dei fogli di esercizi, vi sono due altri eserciziari (Berarducci-Papini e Carrara, questo con soluzioni), oltre a una nota per il ripasso dei prerequisiti riportata anche qui sotto.
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Risorsa
Con soluzioni
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Risorsa
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28 settembre 22, lezione 1:
prima parte
1) Presentazione del corso: docenti, ricevimento tutoraggio e relative raccomandazioni, pagina elearnig del corso e relative raccomandazioni, modalita' di esame. Parole chiave del corso: dipendenza ed indipendenza lineare, trasformazioni lineari (geometricamente lasciano un punto fisso e trasformano rette parallele in rette parallele). 2) Assiomi di Euclide per punti e rette e per punti e piani, posizioni reciproche tra due rette nello spazio tridimensionale, posizioni reciproche tra due piani, posizioni reciproche tra una retta e un piano. 3) Coordiante su una retta. 4) Puntualizzazioni sui numeri reali: proprieta' fondamentale dati due sottoinsiemi non vuoti di numeri reali uno che preceda l'altro vi e' un numero che li separa. Non vi sono due numeri naturali (quelli usati per contare) per cui il quadrato del loro rapporto sia uguale a due. Algoritmo di Euclide per segmenti e commensurabilita' di segmenti. La diagonale del quadrato non e' commensurabile con il lato. VMT
seconda parte:
posizioni di rette e piani nello spazio. Coordinata su una retta, coordinate nello spazio. Somma di due punti con la regola del parallelogramma, verifica delle coordinate della somma. Equazioni parametriche della retta per due punti e del piano per tre punti non allineati. Esempi di equazioni che danno semirette chiuse o aperte. Eliminazione dei parametri e equazione del piano. Verifica che ogni equazione di grado 1 da' un piano lasciata per esercizio. F.Acquistapace
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Prima esercitazione: 5 ottobre
Esercizi su forma parametrica di rette nel piano e nello spazio. Foglio di esercizi 1: domanda 1, domanda 3. Immagine e preimmagine di una funzione, esempi. Con la forma parametrica si vede un sottoinsieme come immagine di una funzione, con la forma implicita cartesiana si vede l'insieme come preimmagine di un insieme fatto da un solo elemento (termini noti delle equazioni che descrivono il sottoinsieme). Per descrivere gli oggetti notevoli dell'algebra lineare si usano a tale scopo funzioni date da polinomi di primo grado. Risolvere un sistema con più incognite che equazioni genericamente vuol dire descrivere l'insieme delle soluzioni del sistema in forma parametrica. VMT
Seconda esercitazione: 6 ottobre
Esercizi su rette e piani in forma parametrica e come luoghi di zeri: rette sghembe, piani paralleli contenenti rette sghembe. Foglio di Esercizi 1, Esercizio 2 punti a, b. Argomento per casa: iniziare ad affrontare il punto c: per quali punti dello spazio passa una retta che incide le due sghembe. VMT
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Terza esercitazione: 12 ottobre
Rette sghembe: primo foglio esercizio 2c, argomento dimostrativo usando le forme parametriche che date due rette sghembe i punti dello spazio per cui passa una retta che interseca le due date, in punti diversi da quello di passaggio dato, sono tutti e soli i punti che non appartengono ai due piani paralleli che rispettivamente contengo una delle due rette, esercizio 3, esercizio 4.
Esercizo di algebrizzazione svolto: usando la forma parametrica di rette e piani mostrare algebricamente che la retta passante per due punti su un piano è contenuta nel piano stesso.
Eserczio di algebrizzazione lasciato: usando le equazioni per piani e rette mostrare che dati due punti su un piano la retta passante per essi è contenuta nel piano stesso.
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Primo foglio di esercizi: domanda 14 e deduzione generale distanza tra due piani, domande 15, e 17 simmetrico di un punto rispetto ad un piano e rispetto ad una retta.
Prodotto scalare in coordinate negli spazi cartesiani di qualsiasi dimensione: due vettori ortogonali e non nulli sono linearmente indipendenti.
Il luogo di zeri di un polinomio di primo grado in n variabili è un sottospazio vettoriale dello spazio cartesiano di ''dimensione n'' che ha ''dimensione n-1'', mettendo tale luogo di zeri in forma parametrica usando come parametri n-1 delle variabili ed esprimendo la rimanente tramite le altre si ottengon combinazioni lineari di n-1 vettori indipendenti.
Definizione di distanza tra due insiemi.
Secondo foglio di esercizi: domanda 1a, trovare due piani bidimensionali ''sghembi'' nello spazio cartesiano di ''dimensione 5''. Impostazione.
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Struttura lineare degli spazi cartesiani. Strutttura metrica degli spazi cartesiani.
Secondo Foglio domanda 1a: piani bidimensionali sghembi nello spazio cartesiano di dimensione 5.
SF domanda 2: proiezione ortogonale di punto su retta in spazi cart. di dim. alta.
SF d. 3: sistemi e loro interpretazione geometrica, piano bidimensionale in sp. di dim. 5 definito da 3 equazioni conteggio numero dei pivot. Risoluzione del sistema e base del piano.
SF d. 4: equazioni dell'ortogonale al precedente piano.
ESERCIZI LASCIATI: SFd1b,c, SFd5, SFd9 ,SF Es2.
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1) Sistemi lineari. Sistema non omogeneo con dati 1, 2, 3 associato al sistema omogeneo della domanda 3 del secondo foglio (metodo della soluzione particolare: linearita' e sovrapposizione degli effetti), d. 5 del secondo foglio (proiezione ortogonale di un punto nello spazio cartesiano di dimensione 5 su un sottospazio di dimensione 2. Discussione (dimensione della giacitura dell'insime delle soluzioni) di un sistema con 2 parametri, ese. 1.14 eserciziario Carrara (dipendenza lineare di matrici 2x2).
2) Definzioni: matrici simmetriche, trasposta, matrici antisimmetriche, enunciato della caratterizzazione della matrice trasp. in termini di prodotto scalare. D. 2 del terzo foglio (le matrici simm e le matrici antisim formano due sottosp vett con intersezione non vuota e nulla, loro dimensione, uso del teo. di Grassmann: ogni matr nxn e' somma di una sim ed una antisim, e in modo unico, calcolo di tali addendi.
Ese. casa: II f. es 2, A nxm B mxn (Ax,y)=(x,By) sse B=trA
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Sottospazio generato, somma di sottospazi come spazio generato dalla loro unione: domanda 3 terzo foglio di esercizi, soluzione usando i gradi di libertà e soluzione usando i teoremi di Grassmann e della dimensione.
Somma diretta di due sottospazi, somma diretta di un insieme di sottospazi: domanda 1 del quarto foglio bis di esercizi.
Domanda 5 del terzo foglio: impostazione della prima soluzione usando la forma parametrica dello spazio generato dall'unione degli ortogonali (spazio somma), preliminare alla seconda soluzione:
Esercizio 3 del terzo foglio: a) gli ortogonali sono sempre sottospazi, b-2) l'ortogonale del'ortogonale è lo spazio generato dall'insieme di partenza, dimensione dell'ortogonale, b-1) scambio delle inclusioni tra sottospazi e loro ortogonali.
b-3) eguaglianze di polarizzazione: dimostrazione di una inclusione, impostazione della seconda usando le formule di Grassmann. Da ultimare.
Esercizio per casa: domanda 4 del terzo foglio.
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Esercizio 3 terzo foglio: conclusione delle dimostrazioni delle uguaglianze di polarizzazione. Applicazione per una seconda soluzione alla domanda 5 del terzo foglio.
Richiami sui polinomi: strutture di anello e campo, polinomi con successioni "corte", polinomi e le diverse funzioni valutate da polinomi (va stabilito ove debba variare la variabile). Somma e prodotto di polinomi, spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti in un campo, teorema di divisione tra polinomi (enunciato), Ruffini dimostrazione, annullamento del prodotto di polinomi a coefficienti in una campo, polinomio nullo e funzioni polinomiali nulle.
Terzo foglio di esercizi: domande 7 ed 8a,b,c (lineare dipendenza). Domanda 9: un sottospazio proprio di C[z] con dimensione infinita: i polinomi che sia annullano su n prefissati numeri.
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Esercizi su somma diretta, polinomi, dipendenza lineare in spazi vettoriali di funzioni a valori complessi:
terzo foglio di esercizi: domanda 9b,c, d.10, d.11a, suggerimento per d.11b.
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Terzo foglio di esercizi, dipendenza lineare in spazi di funzioni: fine domanda 11, domanda 12abc, suggerimento per fare dom. 12d, difficoltà per la domanda 13 partendo dalle precedenti.Quarto foglio di esercizi: domanda 1 le rotazioni attorno all'origine nel piano cartesiano sono lineari, matrice associata ad una tale rotazione,se una funzione lineare conserva le distanze conserva il prodotto scalare (polarizzazione del prodotto scalare), prodotto notevole per una funzione bilineare simmetrica, domanda 10bis matrice associata ad una rotazione in una base diversa da quella canonica.
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Ripasso prodotto righe per colonne e delle matrici di rotazione. Quarto foglio di esercizi: domanda 3 (classificazione degli endomorfismi lineari del piano cartesiano che mantengon le distanze), d.6 (matrici di rango 1, matrici di proiezione ortogonale su un iperpiano e loro simmetria), d.12 e calcolo dell'inversa di una matrice con Gauss (coordinate degli elementi della base canonica rispetto ad un'altra base), d.19a (proiezioni generiche e somma diretta dello spazio, caratterizzazione delle matrici quadrate di proiezione generica M^2=M, caratterizzazione algebrica delle matrici quadrate di rango 1 che sono proiezioni generiche su una retta), d.17b1prima parte (divisori di zero) .
Esericizi lasciati per casa: ultimare la risposta a d. 17b1, e d.19b del quarto foglio (caratterizzazioni delle matrici di proiezione ortogonale su un sottospazio).
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Per impedimento della professoressa Acquistapace il 7 dicembre si terranno un'esercitazione ed una lezione svolte da V.M.Tortorelli
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Quarto foglio di esercizi: domanda 17 b1 conclusione e osservazioni, d. 17b2 divisori zero nell'algebra delle matrici.
Quarto foglio bis domanda 7: caratterizzazione delle matrici quadrate che commutano con tutte le altre ovvero delle matrici simili solo a se stesse (multipli dell'identità), quinto foglio domanda 5 caratterizzazione degli endomorfismi su uno spazio vettoriale che per ogni base scelta hanno la stessa matrice associata: due matrici sono simili se e solo se sono associate ad uno stesso endomorfismo. Cambiamenti di base.
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Risorsa
Teorema e formula di Cauchy- Binet: Il determinante del prodotto di matrici quadrate è il prodotto dei determinanti delle matrici fattori.
Una matrice quadrata ha rango non massimo se esolo se il suo determinante è nullo.
Corollari:
il determinante dell'inversa è il reciproco del determinante.
Due matrici simili hanno lo stesso determinante (non vero il viceversa).
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Foglio IV domanda 13: esistenza di applicazioni lineari con vincoli su immagine e nucleo. F. IV domanda 17bis: due matrici una ridotta di Gauss dell'altra non simili. F.IVbis d.9: se un polinomio di secondo grado con solo due radici semplici distinte annulla una matrice questa è diagonalizzabile. Enunciato del caso generale. F.V d.7 esemplificazione in un caso concreto. Coefficienti del polinomi caratteristico di matrici 2x2 e 3x3. Invarianza per similitudine di traccia e determinante: data una matrice di rotazione calcolo del coseno dell'angolo di rotazione usando la traccia. F.V d.2: determinante di una matrice traingolare ''a blocchi''.
Esercizio lasciato e da riprendere nelle esercitazioni di recupero o nei ricevimenti: al variare di un parametro reale discutere la diagonalizzabilità e la triangolarizzabiltà di una matrice 4x4.
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Esercizio: al variare di un parametro reale discutere la diagonalizzabilità reale e complessa, e la triangolarizzabiltà di una matrice 4x4 "triangolare a blocchi".
Costruzione di un endomorfismo sullo spazio cartesiano di dimensione 4 con immagine e nucleo uguali entrambi ad un dato piano bidimensionale.
Foglio IV d. 19b caratterizzazione delle matrici di proiezione ortogonale su sottospazi: le matrici simmetriche che annullano il polinomio x^2-x.
Pseudo inversa di Moore-Penrose per matrici nxk, n>k, di rango massimo: data una base di un sottospazio k dimensionale dello spazio cartesiano n dimensionale, calcolo della proiezione ortogonale su tale sottospazio.
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Costruzione di endomorfismi e proprietà di ortogonalità nello spazio cartesiano di dimensione 4. Matrice nilpotente A ed invertibilità di kId -A: foglio IV d.18. Invertibilità di trasp A A: foglio IVbis d.6ab. Edomorfismi che annullano polinomi con sole radici semplici e diagonalizzabilità, caso delle proiezioni: esercizo 3 della prova di esame scritta del 26 luglio 2016.
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